Задача: Докажите, что для любого треугольника, длины сторон которого a, b и c, верно соотношение
если угол γ лежит против стороны c.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Построим треугольник со сторонами a, b и c, напротив которых лежат углы α, β и γ соответственно. Впишем в него окружность с центром O и проведём из него высоты OM, OK, ON на стороны AB, BC и AC соответственно (см рисунок).
Вычислим площадь данного треугольника двумя разными способами:
1. Через 2 стороны и синус угла между ними: S△ABC = a * b * sinγ / 2.
2. Через 3 стороны и радиус вписанной окружности: S△ABC = r * (a+b+c)/2
Найдём значение a+b-c:
a = BK + KC = r/tg β + r/tg γ.
b = AN + NC = r/ tg α + r/tg γ.
c = AM + MB = r/ tg α + r/tg β.
⇒ a+b-c = r/tg β + r/tg γ + r/ tg α + r/tg γ - r/ tg α - r/tg β = 2r/tg γ.
Поскольку a+b-c = 2r/tg γ, то
(a+b-c) * (a+b+c) = (a+b+c) * 2r/tg γ
tg γ * (a+b-c) * (a+b+c) = 2r *(a+b+c).
S△ABC = r * (a+b+c)/2 ⇒ 2r *(a+b+c) = 4 * S△ABC = 2 * a * b * sinγ.
Итак, 2r * (a+b+c) = 2ab * sinγ и 2r *(a+b+c) = tg γ * (a+b-c) * (a+b+c) ⇒ по св-у транзитивности 2ab * sinγ = tg γ * (a+b-c) * (a+b+c).
Что и требовалось доказать.
Задача решена.