Задача: В прямоугольный треугольник с углом 30° вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь треугольника, образованного точками касания этой окружности с его катетами и гипотенузой.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
S△MKN = S△KOM + S△KON + S△MON.
S△KOM = 1/2 * KO * OM * sin(∠KOM) = sin(∠KOM)/2.
Найдём ∠KOM:
∠KOM = 360° - ∠AKO - ∠AMO - ∠KAM = 330° - ∠AKO - ∠AMO. ∠AMO = ∠AKO = 90° по св-у касательной ⇒ ∠KOM = 150° ⇒
S△KOM = sin(150°)/2 = sin(30°)/2 = 1/4.
Точно так же находим S△KON и S△MON:
S△KON = sin(∠KON)/2.
∠KON = 180° - ∠ABC. ∠ABC = 90° - ∠BAC = 60° ⇒ ∠KON = 120° ⇒
S△KON = sin(120°)/2 = sin(60°)/2 = √3/4.
S△NOM = sin(∠MON)/2.
∠MON = 180° - ∠ACB = 90° ⇒
S△NOM = sin(90°)/2 = 1/2.
Итак, S△MKN = S△KOM + S△KON + S△MON = 1/4 + √3/4 + 1/2 = (3+√3)/4.
Ответ: (3+√3)/4.
Задача решена.