Задача: Докажите, что для любого треугольника с углами α, β и γ верно соотношение sin2α + sin2β + sin2γ = 2S/R^2, где S — площадь треугольника, а R — радиус его описанной окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Соединим центр окружности O с вершинами треугольника △ABC, тогда AO = BO = CO = R и ∠AOB = 2∠ACB = 2γ, ∠BOC = 2∠BAC = 2α, ∠AOC = 2∠ABC = 2β (см. рисунок).
S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC = 1/2 * AO * BO * sin(∠AOB) + 1/2 * BO * OC * sin(∠BOC) + 1/2 * AO * OC * sin(∠AOC) = 1/2 * R^2 * sin2γ + 1/2 * R^2 * sin2α + 1/2 * R^2 * sin2β = 1/2 * R^2 (sin2α + sin2β + sin2γ).
Таким образом, S = 1/2 * R^2 (sin2α + sin2β + sin2γ) ⇒ sin2α + sin2β + sin2γ = 2S/R^2.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.