Задача: Известно, что tg α = 1/2 и tg β = 1/3 для острых углов α и β. Пользуясь рисунком, найдите α + β.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрев равные прямоугольные треугольники со сторонами 1 и 3, гипотенузы которых являются сторонами данного четырёхугольника, не трудно доказать, что данный четырёхугольник является ромбом (см рисунок).
Проведём диагонали, по св-у ромба они пересекаются под прямым углом и делятся пополам. ∠BAC = 90° - α - β. В прямоугольном треугольнике △AOB: ∠ABO = 90° - ∠BAC = 90° - (90° - α - β) = α + β (см. рисунок).
Прежде чем продолжить, выведем формулу тангенса суммы углов:
Итак, tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 - tg α * tg β) = (1/2 + 1/3)/(1 - 1/2 * 1/3) = 1. Значит, AO/BO = 1 ⇒ AO = OB ⇒ 1/2 * AC = 1/2 * BD ⇒ AC = BD. Если диагонали ромба равны, то он является квадратом ⇒ ∠ABC = 90°, а по св-у квадрата ∠ABD = 45° ⇒ α + β = 45°.
Ответ: 45°.
Задача решена.