Задача: Четыре стороны пятиугольника равны 1, а три его угла между ними равны 120°. Найдите пятую сторону этого пятиугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём отрезок BD, образованный △BCD - р/б по определению, тогда ∠CBD = ∠CDB = (180° - ∠BCD)/2 = 30°.
Рассмотрим четырёхугольник BAED: ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 120° - 30° = 90°. ∠EDB = ∠EDC - ∠CDB = 120° - 30° = 90°. Получается, ∠ABD = ∠EDB = 90° ⇒ AB∥ED, поскольку сумма односторонних углов ∠ABD и ∠EDB равна 180° ⇒ четырёхугольник BAED - параллелограмм по IV признаку (AB∥ED и AB=ED) ⇒ BD = AE.
Найдём BD: в △BCD проведём высоту CH на основание, по св-у р/б треугольника BH - медина ⇒ BH = DH.
В △BHC: BH = BC * cos 30° = √3/2. Тогда, BD = BH +DH = √3/2 + √3/2 = √3 ⇒ AE = √3.
Ответ: √3.
Задача решена.