Задача: Основание равнобедренного треугольника равно 10, а тангенс угла при его основании равен 3. Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на его боковых сторонах.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По условию tg α = 3. Рассмотрим △ANM: Пусть AN = x, тогда MN = AN * tg α = 3x. NMKL - квадрат по усл. ⇒ по св-у квадрата NL = MN = 3x. Рассмотрим прямоугольные △ANM и △CLK:
1) MN = KL (как стороны квадрата)
2) ∠BAC = ∠BCA (по св-у р/б треугольника)
⇒ △ANM = △CLK по катету и острому углу ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ LC = AN = x. AC = AN + NL + LC = x + 3x + x = 5x. По условию AC = 10
⇒ 5x = 10; x = 2. NL = 3x = 3 * 2 = 6.
Ответ: 6.
Задача решена.