Задача: Окружность радиуса R с центром O касается сторон угла в точках A и B. Найдите площадь треугольника AOB, если данный угол равен α. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Рассмотрим четырёхугольник MAOB: ∠MAO = ∠MBO = 90°, так как AO и BO - радиусы, а MA и MB - касательные. Сумма углов четырёхугольника равна 360° ⇒ ∠AOB = 360° - 90° - 90° - ∠AMB = 180° - α. Площадь треугольника равна половине произведения 2-ух сторон и синуса угла, лежащего между ними ⇒ S△AOB = 1/2 * AO * OB * sin(∠AOB) = 1/2 * r^2 * sin(180° - α) = r^2 * sin(α)/2. Ответ: r^2 * sin(α)/2. Задача решена.
Задача: Окружность радиуса R с центром O касается сторон угла в точках A и B. Найдите площадь треугольника AOB, если данный угол равен α.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим четырёхугольник MAOB: ∠MAO = ∠MBO = 90°, так как AO и BO - радиусы, а MA и MB - касательные. Сумма углов четырёхугольника равна 360° ⇒ ∠AOB = 360° - 90° - 90° - ∠AMB = 180° - α.
Площадь треугольника равна половине произведения 2-ух сторон и синуса угла, лежащего между ними ⇒ S△AOB = 1/2 * AO * OB * sin(∠AOB) = 1/2 * r^2 * sin(180° - α) = r^2 * sin(α)/2.
Ответ: r^2 * sin(α)/2.
Задача решена.