Задача: Крыша дома с мансардой имеет два ската длиной 5 м, угол наклона которых равен 60°. Два других ската имеют длину 3 м и образуют между собой угол 120° на коньке крыши. Найдите ширину фасада этого дома и высоту его мансарды с точностью до 1 см.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Перед тем, как приступить к решению задачи, начертим проекцию крыши дома. Ширина фасада дома будет равна ширине крыши. Проведём отрезок BD, опустим на него высоту CK, также опустим высоты BM и DN на сторону AE (см. рисунок).
Рассмотрим прямоугольные △AMB и △END:
1) ∠BAM = ∠DEN (по усл.)
2) AB = DE (по усл.)
⇒ △AMB = △END по катету и острому углу ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ AM = NE и BM = DN. Из этого следует, что четырёхугольник MBDN - параллелограмм по IV св-у ⇒ BD∥MN и BD = MN. Если BD∥MN, а CK⟂BD, то CK⟂MN, отсюда последует то, что высоту мансарды можно будет найти, сложив CK и BM.
Рассмотрим △BCD: он равнобедренный по определению, CK - высота, проведённая к основанию ⇒ по св-у р/б △-а CK - медиана и биссектриса ⇒ BK = KD и ∠BCK = ∠DCK = 120°/2 = 60°.
В △BKC: CK = BC * cos(60°) = 3 * 1/2 = 1,5.
BK = BC * sin(60°) = 3 * √3/2 = (3√3)/2. BD = BK + KD = 2BK = (3√3)/2 *2 = 3√3 ⇒ MN = 3√3(м.).
Рассмотрим △AMB:
BM = AB * sin(60°) = (5√3)/2(м.). По вышедок. высота мансарды равна CK + BM ⇒ высота мансарды равна 5√3/2 + 1,5 ≈ 5,83(м.) (за √3 взято 1,73)
AM = AB * cos(60)° = 5 * 1/2 = 2,5. По вышедок. NE = AM = 2,5. AE = AM + MN + NE = 2,5 + 3√3 + 2,5 ≈ 10,19(м.) (за √3 взято 1,73)
Ответ: ширина фасада - 10,19(м.); высота мансарды - 5,83(м.)
Задача решена.