Задача: Окружность радиуса R проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD и второй раз пересекает прямые AD и CD в точках M и K. Найдите длину отрезка MK, если острый угол параллелограмма равен α ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: В параллелограмме ABCD: ∠ABC = 180° - α. Проведём хорду AK. Рассмотрим вписанный четырёхугольник KABC: поскольку четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов 180° ⇒ ∠AKC + ∠ABC = 180°; ∠AKC = 180° - (180°- α) = α. ∠BAD = ∠ADK = α, как накрест лежащие при пересечении AB∥KC и секущей AD. В △KAD: ∠KAD = 180° - 2α. По теореме синусов для хорд: KM/2R = sin(180° - 2α); KM = 2R * sin(180° - 2α) KM = 2R * sin 2α KM = 4R * sin α * cos α. Ответ: 4R * sin α * cos α. Задача решена.
Задача: Окружность радиуса R проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD и второй раз пересекает прямые AD и CD в точках M и K. Найдите длину отрезка MK, если острый угол параллелограмма равен α
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В параллелограмме ABCD: ∠ABC = 180° - α. Проведём хорду AK. Рассмотрим вписанный четырёхугольник KABC: поскольку четырёхугольник вписанный, то сумма противоположных углов 180° ⇒ ∠AKC + ∠ABC = 180°; ∠AKC = 180° - (180°- α) = α.
∠BAD = ∠ADK = α, как накрест лежащие при пересечении AB∥KC и секущей AD. В △KAD: ∠KAD = 180° - 2α.
По теореме синусов для хорд: KM/2R = sin(180° - 2α);
KM = 2R * sin(180° - 2α)
KM = 2R * sin 2α
KM = 4R * sin α * cos α.
Ответ: 4R * sin α * cos α.
Задача решена.