Короткий ответ: на русском и английском.
Скажу сразу: я — человек простой. Пока мне открыто не скажут: я не буду обслуживать вас, потому что вы — русская, я не буду видеть причину в своей национальности. У людей, в Грузии, в том числе, куча других проблем и причин не улыбаться.
Так вот, по существу. В Грузии молодое население отлично знает английский, поэтому в магазинах, кафе да и просто на улице всегда можно говорить на международном языке. Да, после развала СССР в школах в обязательном порядке не преподают русский. Часть молодежи его знает, потому что учили бабушки-дедушки или образование и работа связаны со сферой туризма.
Старшее поколение знает русский и, чаще всего, говорит на нем. И в целом, не против перейти на русский. Так я всегда делала в аптеках. И если фармацевт, в которому я обратилась, не говорил по-русски, звал коллегу, с которым мы могли понять друг друга. Так же происходило с сервисами доставки. Если сотрудники звонили сказать, что чего-то из заказа нет, а мы отвечали, что можем говорить только по-русски или по-английски, к телефону подходил русскоговорящий коллега.
Я, честно говоря, считаю, что в другой стране, даже если вы приехали туристом, корректно приветствовать на национальном языке или международном. Я всегда так и делала. Здороваюсь на грузинском, спрашиваю, говорили собеседник на русском или английском (в зависимости от возраста) и всегда получала положительный ответ. А вот принуждать говорить на своем языке, в стране, где он уже давно не государственный, как будто не очень прилично.
В общем, будьте проще, и люди к вам потянутся.
Вот здесь писала, что мне понравилось в Грузии. Это страна, в которой точно стоит побывать.