Всем добрый день! Элемент последовательности задается формулой:
Нужно доказать, что следующие выражение делится на пять при любом натуральном n:
Для начала преобразуем, используя дано:
Раскроем скобки:
И окончательно получим:
Теперь докажем это утверждение с помощью метода математической индукции. Пункт 1. Для начала рассмотрим базу индукции — будет ли утверждение верно для первого элемента?
Все верно, число делится на пять. Пункт 2. Теперь предположим, что некоторый k-ый элемент делится на 5:
Пункт 3. Совершим индуктивный переход — докажем, что k+1 элемент делится на 5:
Первое слагаемое делится на 5, так как там есть множитель, кратный пяти. А подчеркнутая сумма делится на пять из индуктивного предположения, сделанного в пункте 2. Итак, наше предположение было верно, потому что используя индуктивный переход (мы доказали, что он верен для любого k) мы можем пройти от единицы до любого числа, последовательно доказывая, что выражение делится на пять.
Знакомы с этим мощным инструментом? А он позволяет доказать очень многое в математике. Но, об этом в другой раз. Спасибо за внимание, подписывайтесь на канал, ставьте лайки, удачи!