Этой статьей я продолжаю штудирование книги профессора Павловского "Гидравлика". Напоминаю: у меня на руках издание 1928г, но здесь я буду приводить сканы немного укороченного варианта от 1930г.
В прошлых статьях мы научились выводить уравнения гидростатики и гидродинамики и поняли их суть.
Настало время вывести уравнение Бернулли. Даниил Бернулли вывел свое уравнение применяя "закон живых сил", но впоследствии Леонард Эйлер, после составления своих дифференциальных уравнений движения жидкости пришел к этому же выводу математическим путем.
Давайте же повторим путь Эйлера...
И начать наш путь надо с уравнений движения жидкости, которые вывел Леонард Эйлер, и которые мы уже разобрали. Напомню их в виде, когда мы к уравнениям гидростатики применили принцип д`Аламбера (вывод уравнений читать тут):
Теперь попробуем собрать все это богатство в одну кучу
Дальше следует вспомнить, что производные по времени от координаты движущейся точки есть проекция скорости движения этой точки:
- dx/dt = u
- dy/dt = v
- dz/dt = w
и стоит вспомнить как раскрывать дифференциал при решении всяких разных интегралов. Примерчик: d(3x-4) = (3x-4)`dx = (3*1-0)dx = 3dx.
А также свойство дифференциала: d (u+v) = du+dv
Этот маневр применяется в уравнении (128) чтобы мы могли безболезненно просуммировать udu+vdv+wdw:
В итоге мы имеем в левой части уравнения половинку дифференциала квадрата скорости. Справа полный дифференциал потенциальной функции W и полный дифференциал функции давления p. Давайте перепишем первичное уравнение с заменой этих понятий.
В принципе уравнение (132) это уже уравнение Бернулли, правда полуфабрикат. Надо его немного поперчить, подсолить и поджарить.
Путь Даниила Бернулли через "закон живых сил" тут я описывать не стану. Обсудим его в следующей статье, которую я планирую посвятить скоростному напору.