В прошлой статье мы остановились на повторении основных тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg). Но причем здесь все-таки Пифагор?
Для тех, кто еще не знаком с первой частью, смело сюда ;)
https://dzen.ru/media/id/641300a5eff23020d2570b5d/osnovnoe-trigonometricheskoe-tojdestvo-eto-teorema-pifagora-chast-1-6522b7800da75a661635cea8
Давайте представим себя древними греками, и попробуем поразмышлять также, как и философы древности.
Если у прямоугольного треугольника пропорционально увеличивать стороны, то углы этого треугольника изменятся не будут.
Из предыдущей части, мы узнали как в любом прямоугольном треугольнике можно найти sin или cos. Обе эти тригонометрические функции делятся на гипотенузу. А на какое чисто удобнее всего делить? Правильно на единицу!!!
Потому что при делении числа на единицу, всегда получается то число, которое мы делили.
А теперь расположим наш прямоугольной треугольник с единичной гипотенузой в центр системы координат. Если мы начнем вращать гипотенузу вокруг центра координатной плоскости, это прямая будет описывать круг радиусом в единицу.
Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.
Теперь мы напрямую приблизились к понятию тригонометрической окружности, которая станет главным помощником при решении любых тригонометрических задач.
Предположим, что в нашем прямоугольном треугольнике угол α = 30°. А что мы знаем из курса геометрии о подобных треугольниках?
Теорема об угле = 30° в прямоугольном треугольнике:
Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Из предыдущего выражения синуса и косинуса при единичной окружности, у нас получилось, что они равняются противолежащему и прилежащему катету соответственно. Из единичной окружности, представленной выше мы видим, что это соответствует проекциям на оси Y и X, соответственно
Давайте найдем в нашем прямоугольном треугольнике все стороны и углы. Решим для этого геометрическую задачу.
1/2 и √(3)/2 - ничего не напоминает?
Верно - это табличные значения синусов и косинусов, различных углов.
Получается, основные принципы и расчеты в тригонометрии появились из решения простой геометрической задачи о прямоугольном треугольнике с единичной гипотенузой.
Тогда ответим на последний вопрос "Основное тригонометрическое тождество - это теорема Пифагора?"
Основное тригонометрическое тождество связывает sin и cos одного угла. Из предыдущих вычислений, мы выявили прямое соответствие sin - противолежащему катету, а cos - прилежащему катету в прямоугольном треугольнике, с гипотенузой равной единице.
Давайте найдем в выше представленном прямоугольном треугольнике гипотенузу, применим для этого Th Пифагора.
с - это наша гипотенуза, равная 1
a - это прилегающий катет, или соответственно cos
b - это противолежащий катет, т.е. соответственно sin
Вот так и получилось, что основное тригонометрическое тождество, это частный случай прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна единице)