В этом "плейлисте" статей про матрицы будут изложены вещи, которые необходимо знать про так называемы таблицы чисел. Возможно (но не точно), в будущем выложу сюда так же дополнительно доказательства тех свойств, которые придется использовать, как говорится, на веру.
Обозначим, для кого может стать полезной данная статья. В первую очередь, для студентов первого курса (кто хотя бы немного посещал лекции и практики по математике), во вторую очередь, для школьников, которые желают преисполниться в своем познании и подготовиться к студенческой жизни.
По определению: матрицей называют прямоугольную таблицу с числами (необязательно вещественными, но для начала по работаем с действительными) с m числом строк и n числом столбцов, количество строк и столбцов задает размер матрицы. Записывают это таким образом: Аm*n.
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами, их элементы — соответствующими прописными буквами с индексами: A=(аij) . Первый индекс элемента матрицы означает номер строки (i), в которой находится элемент, второй — номер столбца (j).
- Векторами называют матрицы, состоящие из одной строки или одного столбца. !!! Понятие «вектор» в математике многозначно. В геометрии мы определяли вектор как направленный отрезок прямой. Понятие «вектор» может обозначать и упорядоченный набор некоторых объектов, а не только чисел. !!!
- Матрицы, у которых число строк и столбцов совпадают, называются квадратными. Элементы а11, а22, ..., аnn (n - количество строк и столбцов у квадратной матрицы) образуют главную диагональ матрицы. Множество всех матриц размера m*n обозначим Mm*n. Для множества квадратных матриц размера n*n примем обозначение Mn, и будем говорить, что рассматриваем матрицы порядка n.
- Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей.
- Квадратная матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называется нижне(верхне)-треугольной (или просто треугольной).
- Матрица, являющаяся одновременно нижне- и верхне-треугольной называется диагональной.
- Матрица, все элементы которой нули, называется нулевой и обозначается O.
Две матрицы A и B называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы обеих матриц равны.
Пусть матрица А имеет вид:
Тогда транспонированной к матрице A будет называться такая матрица:
Матрица Ат, полученная из исходной матрицы А заменой строк на столбцы.
Если Ат=А, то матрица A называется симметричной.
Свойства операции сложения матриц:
Матрица B называется противоположной матрице A и обозначается -А, если A+В=0. С помощью противоположной матрицы вводится понятие вычитания матриц, а именно А-В=А+(-В).
Докажем это:
Произведением матрицы А (матрица имеет вид (1)) на число ⼊ называется такая матрица, что:
Свойства операций умножение матриц на число:
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений (СЛАУ) сводится к операциям над матрицами.
На этом заканчивается данная статья, но в скором времени выйдет следующая (в ней речь пойдет об операциях умножения матриц друг на друга). Спасибо за внимание!