Русский математик Андрей Андреевич Марков без сомнения известен всем любителям математики, как создатель т.н. "цепей Маркова" - последовательности случайных событий, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.
Однако сегодня мы поговорим о его менее известном открытии, связанном с исследованием решений в целых числах следующего диофантова уравнения:
Решений уравнения Маркова - бесконечное количество, и все они получаются по очень простой формуле (впрочем, вывод её достаточно объемный - смотреть здесь на с. 31). В её основе лежит первое приходящее на ум тривиальное решение:
Тогда остальные решения выводятся по формуле:
В результате чего перестановкой получаются следующие тройки чисел:
Каноничной из них считается та, в которой числа упорядочены по возрастанию, т.е. последняя, которая и называется марковской тройкой. Теперь фиксируем первое значение и вычисляем следующую тройку:
Дальше есть два пути (забегая вперед, в остальных марковских тройках нет повторяющихся значений). В первом случае мы меняем местами q и r, во втором - p и r. Схематично вычисление выглядит так:
Все возможные марковские тройки, как Вы могли догадаться, целиком и полностью состоят из марковских чисел. Первые из них (всего их бесконечное количество):
Если продолжать процесс ветвления для каждой марковской тройки, получим дерево:
Обратите внимание на выделенные красным цветом числа - это нечетные члены последовательности Фибоначчи! Выделенные зеленым цветом - т.н. числа Пелля, получаемые при решении одноименного уравнения.
Наивно думать, что Марков в теории чисел изучал всего лишь одно конкретное уравнение. Наоборот, его числа родились во время исследования целой математической области - т.н. квадратичных форм, где Марков выделил специальные формы (второй столбец):
Если попытаться вычислить значение последней дроби, оно будет равным примерно 2.9999. Марков показал, что эта величина стремится к 3. Прелюдия закончена. Начинается математическая магия.
Приближения иррациональных чисел
Удивительно, но числа Маркова проявляются в теории приближения иррациональных чисел рациональными дробями:
Это утверждение означает, что всякое иррациональное число α можно приблизить рациональной дробью p/q с требуемой точностью, которая зависит только от знаменателя q. Например:
Т.е., выбирая q=10 мы получили приближение с погрешностью меньше 5 %, а наилучшее приближение числа π в данном случае - это дробь 31/10. А что будет если взять другие значения q? Оказывается, прямой зависимости в уменьшении погрешности нет:
Т.е. наметившееся уменьшение погрешности в дребезги разбивается, например, при q=125, где наилучшее приближение хуже, чем при меньших значениях знаменателя. Напрашивается вывод, что не все q подходят для того, что наилучшим образом приближать иррациональные числа, да и вообще в правой части может быть не такое простое выражение.
Немецкий математик Адольф Гурвиц показал, что некоторые иррациональные числа можно приближать точнее и точнее, если использовать в качестве дроби справа следующие выражения:
В 1921 году математик Оскар Перрон нашел ключ, который наконец связал числа Маркова с коэффициентами наилучшего приближения иррациональных чисел:
Как видите, числа Маркова являются собой замечательную, скрытую от невооруженного глаза, связь непрерывного (квадратичных форм) и дискретного (рациональных приближений). Этим и прекрасна математика!
Подборка материалов по числам Маркова:
- Теорема Маркова и гипотеза единственности (объемная книга, целиком посвященная проблематике) / англ.
- Отдельная статья про гипотезу единственности (утверждает, что каждое число Маркова является наибольшим в тройке только один раз) / англ.
- Спектры Маркова и Лагранжа (по сути некоторые наборы для квадратичных форм с определенным дискриминантом) / англ.
- О распределении чисел Маркова / англ.
- Комбинаторика марковских чисел / англ.