Событие — это явление, про которое можно сказать, что оно произойдёт или не
произойдёт при определённых условиях.
События обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, ... .
Любое событие происходит в следствии испытания (эксперимента, опыта). Испытание —
это условия, в результате которых происходит или не происходит событие.
Например, процесс подбрасывания монеты, выстрел с намерением поразить цель
представляют собой испытания. Появление загаданной стороны монеты, попадание в
цель в результате выстрела — события.
События делят на случайные, достоверные и невозможные.
Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате
некоторого испытания.
Достоверным называют событие, которое в результате данного испытания произойдёт
обязательно. Будем обозначать E.
Невозможным называется событие, которое в результате данного испытания не может
произойти. Часто обозначают ∅.
Например, рассмотрим испытание состоящее в одном подбрасывании игральной кости
(кубика) и следующие три события:
А — выпадет чётное число очков (случайное событие);
В — выпадет натуральное число (достоверное событие);
С — выпадет число 10 (невозможное событие).
Теория
вероятностей —
раздел
математики,
который изучает закономерности
случайных событий.
Равновозможные события — события, каждое из которых по объективным причинам не
имеет никаких преимуществ произойти чаще чем другое при многоразовых испытаниях,
проводимых в одинаковых условиях.
Несовместные (несовместимые) события — это такие несколько событий, никакие два из
которых не могут произойти в результате одного испытания. В противном случае
события называются совместными(совместимыми).
Вынимание из стандартной колоды карт: А — дамы, В — короля, С — туза, — это три
равновозможные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — карты красной
масти — несовместные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: А — карты чёрной масти, В — тройки - совместные события
Полной группой (системой) событий называется множество таких событий, что в
результате каждого испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
Если полная группа состоит из двух событий, то такие события
называются противоположными и обозначаются А и А.
Если события образуют полную группу событий, являются несовместными и
равновозможными, то говорят, что они образовывают пространство элементарных
событий.
Например,
Вынимание из стандартной колоды карт: А — четырёх карт, среди которых хотя бы одна
является тузом, А — четырёх карт, среди которых нет ни одного туза —
противоположные события.
Вынимание из стандартной колоды карт: A1 — туза, A2 — двойки, A3 — тройки, ... , A12 —
дамы, A13 — короля — пространство элементарных событий.
Число,
являющееся
выражением
меры
объективной
возможности
наступления
события
А,
называется
вероятностью
этого
события
и
обозначается
P(А).
Классическое определение вероятности
Вероятность
события
А
равна
отношению
числа
m
исходов
испытания,
благоприятствующих наступлению события А, к общему числу n всех равновозможных
несовместных исходов, то есть P(A)= m/n
Например, вероятность того, что при подбрасывании двух монет выпадут два герба,
равна 1/4, так как множество всех равновозможных несовместных исходов состоит
из 4 элементов:
A1 — выпали два герба;
A2 — выпали герб и число;
A3 — выпали число и герб;
A4 — выпали два числа,
и только один исход, A1, благоприятствует рассматриваемому событию.
Из классического определениям вероятности вытекают следующие элементарные
свойства:
1. Вероятность любого события S есть неотрицательное число, не превосходящее
единицы
0⩽P(S)⩽1
2. Вероятность случайного события А больше нуля, но меньше единицы
0<P(A)<1
3. Вероятность достоверного события равна единице
P(E)=1
4. Вероятность невозможного события равна нулю
P(∅)=0
Суммой двух событий A и B называется событие C, которое заключается в том, что
произойдёт или событие A, или событие B, или события A и B одновременно обозначается так:
C=A+B или С=А∪В
Аналогично определяется сумма нескольких событий. Обозначения в этом случае:
C=A1+A2 + ... + An
Произведением двух событий A и B называется событие C, которое заключается в том,
что произойдёт и событие A, и событие B одновременно. Обозначается так:
C=A×B или C=AB
Аналогично определяется произведение нескольких событий.
Обозначения в этом случае:
C=A1⋅A2 ⋅ ... ⋅ An
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
P(A+B)=P(A)+P(B)
Если события А1, А2
, ... , Аn образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их
вероятностей равна единице
P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице
P(A)+P(Ā)=1
Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не
зависит от того, произошло другое событие или нет.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей
этих событий:
P(A×B)=P(A)×P(B)
Например, если два стрелка одновременно и независимо друг от друга стреляют в
мишень, а вероятность попадания в мишень соответственно равна 0,8 и 0,75, то
вероятность попадания в цель обоими стрелками составляет 0,8 · 0,75 = 0,6.
В случае, когда событий два и они совместны, вероятность суммы этих событий
вычисляется по формуле:
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B).