Будущий режиссёр появился на свет 9 ноября 1929 года в творческой столичной семье. На протяжении всей жизни Чулюкина терзали сомнения: кто же его настоящий отец? Мальчик рос точной копией знаменитого актёра Михаила Астангова, у которого мама Юры училась в ГИТИСе, так что вокруг их семьи то и дело ходили слухи, что Степан Чулюкин никакого отношения к ребёнку не имеет. Уже во взрослом возрасте Юра случайно столкнулся с Михаилом Астанговым в магазине и остановился как вкопанный — сходство действительно было поразительным.
Как бы там ни было, в воспитании Юры актёр участия не принимал. В подростковые годы Чулюкин связался с плохой компанией и даже оказался в тюрьме как соучастник убийства. К счастью, вскоре все обвинения с юноши были сняты. Однако время, проведённое в заключении, не прошло бесследно — за решёткой Чулюкин заработал болезнь почек, которая не давала ему покоя до конца дней.
Оказавшись на свободе, Юрий пошёл в ученики к художнику при Центральном детском театре. В оставшееся время творческий молодой человек начал руководить художественной самодеятельностью на заводе киноаппаратуры. Уже тогда стал очевиден его талант постановщика, и Чулюкин решил развиваться в этом направлении — поступил во ВГИК на курс к самим Григорию Александрову и Михаилу Чиаурели. Студенческие годы пролетели быстро, и вскоре Юрий уже снимал собственные очерки для телевидения.
В штат «Мосфильма» он был принят в конце 50-х. Первый же фильм начинающего режиссёра произвёл эффект разорвавшейся бомбы — комедия «Неподдающиеся» стала одним из лидеров проката, а молодые актёры Надежда Румянцева, Алексей Кожевников и Юрий Никулин проснулись знаменитыми. Ещё больший успех ожидал следующую картину Чулюкина «Девчата» с Надеждой Румянцевой и Николаем Рыбниковым — комедия стала популярна не только в СССР, но и за рубежом, а режиссёр был удостоен наград на международных кинофестивалях в Эдинбурге и в Каннах.
К тому моменту Юрий Чулюкин давно был женат на красавице-блондинке Наталье Кустинской. Именно она показала режиссёру сценарий «Девчат», мечтая сыграть повариху Тосю, но худсовет был готов взять её только на роль телефонистки Анфисы, так что Кустинская отказалась. Уже следующий свой фильм «Королевская регата» Чулюкин снимал специально для жены — Наталье досталась роль стюардессы Алёны, но картина в прокате провалилась. Затрещали по швам и отношения в семье. Детей у пары не было, хотя оба очень хотели, Чулюкин часто ревновал жену и старался скрывать её красоту, а закончилось всё тем, что Наталья узнала об измене мужа и подала на развод.
Так блестяще начавшаяся карьера Чулюкина-режиссёра постепенно шла под откос. Он экспериментировал с жанрами, пробовал снимать исторические драмы, детское кино и даже фантастику. На экраны вышли ленты «Жизнь, ставшая легендой», «Король манежа», «И на Тихом океане...», «Родины солдат», «Поговорим, брат...», «Весенняя олимпиада, или Начальник хора», «Не хочу быть взрослым», «Комета», «Как стать счастливым», «Микко из Тампере просит совета», но ни одна из картин не могла даже близко подобраться к успеху дебютных фильмов. В этот непростой период рядом с Юрием оказалась актриса Людмила Смирнова — она стала его второй женой и верной спутницей на всю оставшуюся жизнь, появилась в нескольких фильмах мужа.
В конце 80-х Юрий Чулюкин отправился на неделю советского кино в Мозамбик с презентацией нового фильма. Остановилась киноделегация в гостинице в столице Мапуту. Никто и представить не мог, что именно здесь, за тысячи километров от родины, 57-летний режиссёр встретит свою смерть. 7 марта 1987 года Юрия Чулюкина обнаружили в шахте гостиничного лифта с травмой головы. Как он там оказался, до сих пор доподлинно неизвестно. Назывались разные версии — от несчастного случая до самоубийства. А несколько лет назад актриса Инна Макарова раскрыла неизвестные ранее подробности — по её словам, в гостинице перед лифтом Чулюкин заступился за советскую актрису Ирину Шевчук, к которой приставали местные постояльцы, завязалась драка, в результате которой режиссёр был убит.
Актриса добавила, что расследование не проводилось, чтобы не разразился международный скандал. Тело Юрия Чулюкина было спешно доставлено на родину. Похоронили режиссёра на Кунцевском кладбище в столице.