Периодически ко мне обращаются за консультацией преподаватели. Некоторые из разбираемых методических вопросов, думаю, будут интересны широкой аудитории.
В прикрепленной статье – обсуждение следующей ситуации:
Ученик 8 класса. Из раза в раз возникает ошибка «корень числа равен самому числу».
Коллега, мой давний знакомый, описал как он работал с этой проблемой, какие материалы использовал и какие результаты получал в итоге.
Важно, что указанные слайды - это не презентация для ученика. Это описание того, что делал преподаватель.
Нашу переписку и непосредственно мои предложения по решению проблемы публикую с согласия автора.
Письмо коллеги:
Добрый день, Роман.
Хочу посоветоваться относительно преподавания....
Мальчик, 8 класс, делаем корни. Из раза в раз возникает одна и та же ошибка: КОРЕНЬ ЧИСЛА РАВЕН САМОМУ ЧИСЛУ
Мои регулярные действия на каждом занятии.
Все определения есть, таблицу квадратов получали и таблицу корней до 30 считали ручками…
При этом красное равно зелёному.
Честно, по-первой я думал, что парень стебётся, однако вроде бы нет…
Моя теория по корням для него:
Далее счёт корней:
Дальше уравнения с корнями с умножением на иррациональное или заменой:
Далее сокращённое умножение а-ля:
и счёт с исчезающими (противоположными) числами:
И вот тут пошла самая жесть...
Пробовал объяснять через обратное действие к степени, и как шестое арифметическое действие, и как просто отдельную, кардинально новую операцию…
У тебя когда-то такое было?
--------------------
Мой ответ:
Добрый день, Пётр!
Опишу в двух словах как можно иначе знакомить ученика с понятием квадратного корня. Далее разберу некоторые из предложенных слайдов. В конце дам общие рекомендации по технике работы.
Начинать лучше всего, конечно, не с самих строгих определений, а с того, как вообще возникла потребность в квадратных корнях.
Для этого можно просто сформулировать задачу: «Решить уравнение x² = 25». Причём даже без акцента на то, что там есть отрицательный корень. Пока нам достаточен ответ 5.
Дальше можно ещё поработать с точными квадратами и решить уравнения вроде x² = 225, x² = 0,64, x² = 0,0001.
Причём вы не просто решаете эти уравнения. Важно проговаривать такие слова: «Какое число надо возвести в квадрат, чтобы получилось 225? Какое число надо возвести в квадрат, чтобы получилось 0,64? Какое число надо возвести в квадрат, чтобы получилось 0,0001?»
После этого переходим к каверзному вопросу: «А какое число надо возвести в квадрат, чтобы получилось 7?» При этом на экране или доске должно быть соответствующее уравнение x² = 7.
Конечно, ученика это вводит в ступор, потому что такого целого числа нет. Значит, надо искать среди дробных чисел. Можно предложить поискать среди десятичных дробей.
Для этого, конечно, сначала нужно понять между какими целыми числами мы будем искать. Ученики довольно быстро понимают, что мы ищем число между 2 и 3. Так как 2² = 4 < 7 < 9 = 3². Четыре - недолёт, девять - перелёт.
То есть наше число это «два с чем-то».
А с чем именно? Где оно находится? Между 2,1 и 2,2? Или же, к примеру, между 2,8 и 2,9?
Путём несложных вычислений школьник догадывается, что это число между 2,6 и 2,7. Хотя в некоторых случаях нужно подтолкнуть к поиску и показать, что, например, число 2,5 слишком маленькое. Также довольно часто нужно пояснять, что промежуток между 2,6 и 2,9 нам не подходит, т.к. слишком большой. А нас интересуют соседние числа.
Можно, конечно, и дальше уточнять (и само собой не получать точное число, квадрат которого равен 7), но обычно этих двух шагов достаточно.
Далее полезно перейти к числовой оси и визуально показать, как мы уточняли наше число. И увидеть, что где-то есть то самое искомое число, но мы до него никак не можем добраться.
Для школьника должна быть и зрительная привязка числа к некоторому месту на числовой оси.
Теперь можно сказать, что постепенно уточняя мы получим число 2.64575131106…
И именно его мы обозначаем как √7.
То есть на начальном этапе мы должны объяснить ученику, что подобная запись лишь удобное обозначение для числа, которое в квадрате даёт 7.
Кстати, не рекомендую на этом этапе давать слабому и даже среднему ученику математически строгое определение: «Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b, квадрат которого равен данному числу а».
На первом этапе для исходного рабочего определения лучше убрать неотрицательность. Понятие «неотрицательное число» всегда смущает учеников, а нам нужно пока делать акцент на другом. Не более одной трудности одновременно!
Да, строго математически так делать нельзя. Но пусть ученик сначала немного «поживёт» с квадратными корнями, привыкнет к ним. А уже потом, если потребуется, можно будет уточнить и про неотрицательность (и то сперва лучше делать акцент на положительность, т.к. ноль нас особо не интересует).
То есть можно пока работать с таким рабочим определением: «Квадратным корнем из числа a называется такое число b, квадрат которого равен числу а».
И несколько раз попросить ответить ученика на вопрос: что такое число √3, √10, √21.
Обрати внимание, что пока мы не говорили про действие извлечения квадратного корня. Нужно объяснить ученику, что как такового этого действия нет. Мы не извлекаем √25, мы лишь подбираем такое число, квадрат которого равен 25.
И лишь для удобства мы называем такой подбор «извлечением квадратного корня».
А дальше уже можно говорить про извлечение квадратного корня.
Соответственно и шаги направленные на объяснение квадратного корня через степень или через хитрое арифметическое действие будут лишь путать ученика. Он должен привыкнуть, что это лишь удобная форма записи числа.
Теперь что касается пояснений. Начнём со второго.
Повторюсь: на первоначальном этапе знакомства с корнями нет смысла делать акцент на том, что у соответствующего уравнения есть ещё и отрицательные квадратные корни. Это лучше делать отдельно и на целочисленных решениях. А уже потом для корней.
В этом смысле подобные записи вредны, т.к. уводят мысли ученика в сторону.
Теперь о слайдах по теории:
Во-первых, не стоит объяснять квадратный корень через степень. Правильнее наоборот - после глубокого знакомства с корнями (причём разной степени) и со степенной функцией (в том числе с отрицательными показателями) следует переходить к степеням c дробными показателями. Но только тогда, когда ученик в совершенстве владеет свойствами корней. Иначе в голове будет каша.
Во-вторых, на самом слайде ошибки, которые обязательно нужно исправить. Многоэтажная степень считается по другим правилам.
Вот соответствующее пояснение из Википедии:
Дальше счёт корней:
Лучше не брать такие большие числа, когда ученик неуверенно работает c корнями. Да и сам счет лучше начинать не с разложения подкоренного выражения на множители (ведь это уже скорее тема свойств корней), а с изучения извлечения точного квадрата из четырёхзначного числа.
И небольшое стилистическое замечание: знак умножения следует прописывать традиционно. То есть не 37 * 3 * 9, а 37 ⋅ 3 ⋅ 9. Иначе это выглядит как-то кустарно и несерьёзно.
Это примерно как писать x^2 вместо x². В целом, конечно, понятно. Но всё же…
Следующие несколько слайдов хоть и содержат квадратные корни, но скорее относятся к теме Уравнения (квадратные и иррациональные). И идут гораздо позже извлечения корней. Поэтому нужно их рассматривать немного в ином контексте.
Далее, вот такое громоздкое выражение для вычислений.
В принципе идея использования формул сокращенного умножения для корней здравая.
Правда, подобное задание должно скорее завершать цикл задач. Думаю, лучше сначала прорешать подобные примеры (см. задачник Галицкого):
Последний номер тоже выглядит громоздким. Однако, тот же пункт д) имеет вполне прикладной смысл. Узнаёшь формулу Герона в этом выражении?
А далее можно уже выйти на избавление от иррациональности в знаменателе и на понятие сопряжения для некоторых иррациональных чисел.
И наконец, такой слайд.
Идея понятна… Но насколько это требуется ученику, когда он нетвёрдо умеет работать с корнями, вопрос дискуссионный. Есть другие способы воспитать у ученика привычку к рациональным вычислениям в теме корней.
К тому же именно в этом слайде есть описка. Если планируешь его показывать ученику, то её тоже нужно будет исправить.
Немного об общей картине:
- Сначала нужно обязательно исправить все ошибки на слайдах. Особенно это касается слайда со степенями.
- Не грузить ученика сразу слишком большой теорией и не давать корни в связке со степенями.
- Знаки умножения на слайдах лучше прописывать не через *, а через ⋅
- Систему и правила подбора задач как таковой я полностью не вижу. Видно, что представленные примеры лишь вершина айсберга и являются частью большой подборки задач. Можно подсмотреть у коллеги некоторые правила конструирования систем заданий для учеников. Однако, для этого, конечно, надо понимать, какого рода вещам ты планируешь научить школьников.