О бинарной проблеме Эйлера-Гольбаха. Кочкарев Б. С.

В 1742 году великий Российский математик академик Российской Академии наук Гольбах обратился с письмом к другому академику Российской Академии наук Эйлеру относительно тернарной проблемы о представимости нечетного числа большего 5 в виде суммы трех простых чисел. В ответном письме к Гольбаху Эйлер сформулировал бинарную проблему: любое четное число, начиная с 4 может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. При этом Эйлер добавил, что он уверен, что это теорема, но он не может это доказать. Нам удалось доказать утверждение, что любое четное число n > 6 можно представить в виде суммы двух простых чисел p, p', одно из которых p < n : 2, а другое p' > n : 2 таких, что p + p' = n. Первое такое четное число есть 8. Очевидно, 8 = 3 + 5, причем 3 < 4, 5 > 4. Второе такое четное число есть 10. Очевидно, 10 = 3 + 7, причем 3 < 5, 7 > 5. Третье такое четное число есть 12. Очевидно, 12 = 5 + 7, причем 5 < 6, 7 > 6. Предположим для достаточно большого четного числа n найдется пара простых чисел p < n : 2, p' > n : 2 таких, что p + p' = n. А для n + 2 пусть таких простых чисел p, p', p + p' = n + 2 нет. Тогда по нашей аксиоме спуска и для n таких простых чисел p, p' не найдется, а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает утверждение. Приняв во внимание, что 4 = 2 + 2, а 6 = 3+ 3, мы тем самым доказали, что все четные числа, начиная с 4, представимы в виде суммы двух простых чисел. Поскольку с ростом четного числа n число возможных пар простых чисел p, p' таких, что p + p' = n не убывает и для каждого четного n пара простых p, p' найдется, то бинарная проблема доказана.