ТММ#3 Кинематический анализ рычажных механизмов. План скоростей. План ускорений

Кинематика[1] – это раздел механики, изучающий движение тел без учета их массы и действующих на них сил. Основной целью кинематического анализа является нахождение значений и направлений скоростей и ускорений точек механизма, а также угловых скоростей и ускорений его звеньев.

Известны три основных метода кинематического анализа:

• графический (метод диаграмм);
• графоаналитический (метод планов);
• аналитический (метод координат).

Графический метод является наиболее наглядным, но наименее точным. Кроме того, графическим методом, как правило, определяют только скорость и ускорение выходного звена механизма. Графоаналитический метод позволяет найти скорость и ускорение каждой точки звена. Точность результата во многом зависит от построения, но не выше, чем у аналитического метода. Аналитический метод с целью снижения трудоемкости реализуется в основном на ЭВМ.

При изучении теории механизмов и машин наиболее часто используют метод планов, подразумевающий построение плана скоростей и плана ускорений.

Кинематический анализ методом планов начинается с построения схемы механизма в заданном положении. Для этого используют метод засечек. Кроме того, могут быть использованы приемы построения касательных линий, биссектрис и др. Для построения заданного механизма (рис. 3.1) следует рассчитать масштабный коэффициент

где <OA> – длина отрезка OA на чертеже.

С помощью найденного масштабного коэффициента могут быть рассчитаны остальные параметры механизма. Например, длина отрезка AB на чертеже

Рис. 3.1. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма

Заданное положение точки A может быть найдено общеизвестным путем деления окружности радиуса OA с помощью циркуля на 12 частей. Точка B строится методом засечки радиусом AB на направляющей ползуна n–n. Точка S2 может быть отмерена на звене 2 после соединения точки A с точкой B.

Построение плана скоростей начинается с определения скорости точки А. Поскольку точка A совершает вращательное движение относительно точки O, то ее скорость будет направлена перпендикулярно расстоянию между точками O и A – отрезку OA.

Численное значение скорости может быть получено из общеизвестной формулы определения угловой скорости ω, рад/с

где n – частота оборотов в минуту; V – линейная скорость одной точки относительно другой, м/с; R – радиус вращения (расстояние между точками), м.

Численной значение скорости точки А

Скорость точки А на чертеже изображается отрезком pa = 30 мм (длина принимается произвольно).

Полюсная точка p является нулевой точкой плана.

Масштабный коэффициент плана скоростей

Скорость точки B относится к ползуну 3 и шатуну 2. Для ее нахождения необходимо воспользоваться следующим векторным уравнением

В векторном уравнении (3.3) вектор скорости точки B параллелен направляющей n–n ползуна 3, вектор скорости точки B относительно точки A перпендикулярен расстоянию между точками A и B (отрезку AB). Следовательно, если провести из точки p вектор, параллельный направляющей ползуна, а из точки a вектор, перпендикулярный отрезку AB, то на месте пересечения этих двух векторов будет скорость точки b. Численное значение скорости точки B (VB) и скорости точки B относительно точки A (VBA)

Скорость центра масс S2 строится по принципу подобия

откуда

Угловая скорость звена 2 согласно формуле (3.1)

Направление угловой скорости ω2 против часовой стрелки (знак «+») было получено по вектору скорости точки B относительно точки A. Если этот вектор поставить в точку, скорость которой он показывает (в точку В на схеме механизма), то его направление покажет направление поворота звена 2 относительно точки A.

Ускорение точки A складывается из нормальной и тангенциальной составляющих

численные значения которых:

где ε1 – угловое ускорение кривошипа 1 (на рис. 3.1 оно не задано).

Таким образом, ускорение точки A

на чертеже (произвольно)

Вектор pa является нормальной и абсолютной величиной ускорения точки A. Он направлен параллельно отрезку OA к центру вращения (точке O).

Полюсная точка p является нулевой точкой плана.

Масштабный коэффициент плана ускорений

Для нахождения ускорения точки B необходимо воспользоваться следующим векторным уравнением

в котором:

- вектор ускорения точки B параллелен направляющей n–n ползуна 3;

- вектор нормального ускорения точки B относительно точки A параллелен расстоянию между точками A и B (отрезку AB) и направлен от точки B к точке A (к центру вращения);

- вектор тангенциального ускорения точки B относительно точки A перпендикулярен отрезку AB. Его направление и величина неизвестны, поскольку неизвестно угловое ускорение шатуна ε2.

Графоаналитическое решение уравнения (3.6) следует начинать с определения нормальной составляющей ускорения

на чертеже

Если из точки p провести отрезок, параллельный направляющей ползуна n–n, а из точки a – отрезок an2, к концу которого также провести перпендикуляр, то пересечение перпендикуляра с первым отрезком покажет точку b.

Численное значение тангенциальной составляющей ускорения точки B относительно точки A, а также абсолютного ускорения точки B

По принципу подобия (3.4) на плане ускорений строится точка s2. После соединения ее с точкой p можно рассчитать ускорение центра масс звена 2

Угловое ускорение звена 2 может быть рассчитано по следующей общеизвестной формуле

где at – тангенциальное ускорение, м/с2. В результате

Направление углового ускорения ε2 против часовой стрелки (знак «+») было получено по вектору тангенциального ускорения точки B относительно точки A (вектор n2b). Если этот вектор поставить в точку, тангенциальное ускорение которой он показывает (в точку В на схеме механизма), то его направление покажет направление поворота звена 2 относительно точки A.

Проверить правильность построения планов скоростей и ускорений можно по методу диаграмм (методу хорд). Для этого следует построить план положений механизма (рис. 3.2). 30-градусный шаг варьирования положения входного звена является достаточным для реализации графического метода. При построении отмечаются номера положения входного и выходного звеньев. За нулевое положение, как правило, принимается горизонтальное. Отсчет ведется по направлению вращения кривошипа.

Рис. 3.2. План положений и кинематические диаграммы

При построении диаграммы перемещения S(φ) задается горизонтальная ось 0-12, разбитая на интервалы положения кривошипа. Затем для каждого положения кривошипа по оси S отмеряется положение точки B ползуна относительно ее нулевого положения: <S1>, <S2> и т.д. (рис. 3.3). Отмеренные ординаты соединяются хордами. Для построения точки 1` диаграммы скорости следует параллельно перенести хорду 0-1 в точку p, принимаемую на расстоянии op. Затем, продлевая хорду до оси ординат, можно получить положение точки 1` по вертикали. По горизонтали точка 1` будет располагаться посередине того участка, где была взята хорда для ее построения (в данном случае – это участок 0-1). Аналогичным образом строятся остальные точки диаграммы скорости V(φ). Для построения диаграммы ускорения a(φ) следует плавно соединить точки 1`...12` диаграммы скорости, а после чего соединить хордами ординаты этой диаграммы на участках 0-1, 1-2 и т.д. (показаны пунктирными линиями). Полученные хорды также поэтапно переносятся в точку p и продлеваются до оси ординат, показывая в результате положение точек 1``, 2`` и т.д. по вертикали. Полученные точки диаграммы ускорения 1``, 2`` и т.д. следует затем соединить плавной кривой. В завершение построения крайние найденные точки графиков 1`, 1``, 11` и 11`` выносятся за пределы графика (рис. 3.2) на середину мнимых положений 12-13 и -1-0, соответствующих фактическим положениям 0-1 и 11-12. Таким образом определяются ординаты скорости и ускорения точки B в положении 0(12).

Рис. 3.3. Построение кинематических диаграмм

Табл. 3.1. К построению графика перемещения точки B (ползуна)

Для получения численных значений скоростей и ускорений точки B из построенных графиков (рис. 3.2) следует рассчитать масштабные коэффициенты построения

где μφ – масштабный коэффициент по оси X

Скорость и ускорение точки B в положении 10

По сравнению с результатами планов скоростей и ускорений, полученные значения входят в 5% предел погрешности построения

[1] словарь С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой