В нашей работе [ 1 ], опубликованной в журнале "Проблемы современной науки и образования Problems of modern science and education" 2015, №11(41), стр. 7-10 мы ввели аксиому спуска, являющуюся алгебраической интерпретацией метода спуска Ферма [ 2 ], с помощью которого ему удалось решить проблему Ферма для частного случая n = 4.
Определение. Математическая проблема А(n), зависящая от натурального параметра n называется бинарной, если существует алгоритм, который позволяет для любого значения n определить утверждение А(n) истинно или ложно.
Пусть А(n) является утверждением: четное число n есть число, для которого существует пара простых чисел p < ( n : 2), p' > ( n : 2) таких, что p + p' = n.
Лемма. Если четное натуральное число n > 6, то существует пара простых чисел p < ( n : 2 ), p' > ( n : 2 ) таких, что p + p' = n.
Доказательство. Самое маленькое четное число n > 6 есть 8. Очевидно, 8 = 3 + 5 ( 3 < 4, 5 > 4 ). Следующее такое четное число есть 10. Очевидно, 10 = 3 + 7 ( 3 < 5, 7 > 5 ). Предположим это верно для достаточно большого четного числа n, т.е. существует пара простых чисел p < ( n : 2 ), p' > ( n : 2 ) таких, что p + p' = n, а для четного числа n + 2 нет пары натуральных чисел p < ( n + 2) : 2, p' > ( n + 2) : 2 таких, что p + p' = n+ 2. Тогда по нашей аксиоме спуска [ 1 ] и для n такой пары p, p' простых чисел нет, а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает лемму.
Очевидно, для n = 4 имеем 4 = 2 + 2, а для n = 6 имеем 6 = 3 + 3. Отсюда бинарная проблема Эйлера-Гольбаха ( любое четное число n, начиная с 4, представимо в виде суммы двух простых чисел ) решена.
Литература:
!. Кочкарев Б. С. К методу спуска Ферма. Проблемы современной науки и образования Problems of modern sciense and education. 2015 № 11(41) стр. 7-10
2. Самин Д. К. Сто великих ученых. Москва, "ВЕЧЕ", 2001, с. 592.