Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье поговорим с Вами о том, так ли сложно понять смысл полиномов. Отвечу сразу: не очень сложно. И сразу же сделаю оговорку, что данная статья будет полезна для школьников и их родителей, а также интересна для тех, кто любит выполнять простые арифметические манипуляции с данными. Итак, знакомимся с полиномами, как они формируются и для чего используются.
Для этого обратимся к самой простой функции, ну или как принято называть «к выражению» и постепенно будем его усложнять. Самой простой функцией будет являться выражение не от одной переменной, как многие могут подумать, а как бы это абсурдно не звучало: константа. Не верите? Давайте рассмотрим график функции, ну допустим, у=4:
С игрека, а не с икса я начал специально. Давайте усложним наше выражение, добавим в него переменную. Пусть у=2х+4. В данном выражении игрек уже зависит от икса, а само выражение при некоторых условиях станет простым уравнением.
Любое выражение может быть представлено графически, как и любой график в виде математических выражений. Простые уравнения – всего лишь выражения, с помощью которых можно найти одну из координат точки, если знаешь другую. Неравенства позволяют находить целые диапазоны таких координат. Давайте посмотрим, что будет с нашим выражением (у=2х+4), если мы зададим координату игрека. Пусть игрек равен нулю:
2х + 4 = 0
2х = - 4
х = - 2
На рисунке 2 ясно видно, что точка с «игрековой» координатой 0 имеет «иксовую» координату -2. А пусть игрек теперь будет равен 20:
2х + 4 = 20
2х = 20 – 4
2х = 16
х = 8
На графике координаты точки соответствуют. Теперь подумаем над тем, как икс и игрек могут помочь нам в принципе при выполнении различных вычислений. По сути икс – переменная, то есть это то, что нам известно, проще говоря исходные данные задачи. Игрек – это то, что мы ищем, и он связан каким-то образом с иксом. График, к которому принадлежит точка с координатами икс и игрек – условие задачи, связывающее исходные данные и возможные результаты. То есть график – всего лишь один из способов представления задачи, более наглядный. Под переменной рассматривается именно «переменная», то есть некоторая изменяемая величина. Я говорю это для тех, кого ставит в тупик фраза «уравнение с одним неизвестным». Неизвестных по сути в таких выражениях вообще нет: есть некоторое задаваемое значение переменной и зависящее от этой переменной искомое число. И где же тут тогда «неизвестные»? А их и нет: это всего лишь принятое название, что-то вроде синонима к «переменным». Давайте рассмотрим как вообще формируется уравнение в задаче.
Простейшая задача:
Рабочий предприятия Н. некто Иванов за свои труды получает зарплату в размере, скажем, 30 тыс. рублей в месяц. Раз в год руководство премирует своих рабочих. Сумма премии 20 тысяч рублей. Вопрос: Каков размер выплаты Иванову от предприятия за один год? За два года? За три года?
Составляем уравнение: Иванов получает у = (30*12+20)*х тысяч рублей в х лет. То есть за год:
у = 30*12 + 20 = 380 тыс. руб
За два года:
у = (30*12+20)*2 = 760 тыс. руб
За три года:
у = (30*12+20)*3 = 1140 тыс. руб
Однако, так не интересно... Да и к тому же обычно игрек в простых уравнениях мы знаем, а ищем икс. Пусть при тех же условиях Иванову предприятие выплатило 1,9 млн рублей. Давайте найдем, сколько лет он работал, чтобы столько получить:
1900 = 380*х
х = 1900 / 380 = 5 лет.
Для чего я вообще привел пример и начал объяснять то, что собой по сути представляют простые уравнения. Только потому, что без этого очень сложно переходить к разбору квадратичных. В квадратичных уравнениях существует не только зависимость от некоторой переменной, но она еще и степенная. Для чего нам вообще нужны такие выражения? С помощью них мы можем описать различные физические явления и многое другое. В математике, которую мы изучаем со школьной скамьи вместо привычного игрека принято сразу записывать в выражении константу, которой этот самый игрек равняется. И игрек в символьных обозначениях обозначается соответственно «с» - константа (точнее так уж совпало: у переменной со степенью 2 записывается константа «а», у переменной со степенью 1 – константа «b», ну и для переменной с нулевой степенью остается следующая буква «с», которой в принципе принято обозначать константы в различных выражениях):
Для решения таких уравнений мы знаем два способа: через дискриминант и с применением теоремы Виета. Начнем со второго способа:
Для того, чтобы найти корни уравнения (возможные значения переменных икс при заданных условиях) мы составляем такую систему уравнений:
Разберемся что и откуда здесь взялось. Представим себе график функции квадратного уравнения. Наличие икса во второй степени говорит нам о том, что при возведении отрицательного или положительного числа в степень будет получено положительное число, то есть имеют место как раз два корня. Предположим, что мы нашли эти иксы для какого-нибудь уравнения, при этом уравнение правдиво для обоих иксов:
На буквах-то всё выглядит красиво, но что они значат? Смотрим и анализируем последовательность наших действий. Первым делом мы осознаем, что у двух точек с разными координатами икса, координаты игрека одинаковые. Так как константа «с» - это у нас игрек, то мы приравниваем функции друг другу. В рассматриваемом выражении имеется две составляющие: с иксом во второй степени и с иксом в первой степени. Так как коэффициенты для обоих возможных корней одинаковы, то мы можем вывести прямые зависимости между этими корнями. То есть простая математика и ничего больше.
Рассмотрим теперь как мы ищем корни для квадратного уравнения через дискриминант. Вспоминаем формулу:
Что по сути у нас здесь написано? А ничего нового: та же теорема Виета, только по-другому. Не верите? Умножим одно уравнение на другое:
Теперь давайте просуммируем выражения для поиска корней:
Как видим, решение квадратного уравнения через дискриминант – это всего лишь форма записи теоремы Виета. Проще говоря – это решение системы уравнений теоремы Виета.
Но что же всё-таки значат степени и константы в квадратном уравнении? Давайте придумаем пример. Пусть у нас есть автомобиль, который в течение времени Т1 разгоняется с постоянным ускорением (назовём его А), а в течение времени Т2 едет по шоссе с постоянной скоростью (тут придумывать не будем и обозначим также стандартно V). И пусть за время Т1+Т2 он проедет N километров. Вспомним размерности для ускорения и скорости:
Таким образом, для того, чтобы найти Nнам нужно найти сумму расстояний, которые были пройдены за время Т1 и Т2. Для Т2 всё просто: умножаем время на скорость (расстояние, пройденное за Т1 назовём N1,а расстояние, пройденное за Т2, назовём N2):
Для того, чтобы найти N1 нужно найти среднюю скорость на этом участке, а затем умножить её на время, затраченное на разгон (T1), ну, или если говорить проще, то умножить ускорение на время Т1 в квадрате:
Тогда у нас получается следующее:
Что-то напоминает... А давайте еще слегка подкорректируем условия задачи, пусть Т1 = Т2. То есть времени на разгон пусть уйдёт столько же, сколько и на дорогу с постоянной средней скоростью. Иначе говоря задача станет выглядеть так: Часть пути автомобиль набирал скорость с ускорением А, вторую часть пути он ехал с постоянной средней скоростью V. Найдите время разгона Т1, если за период времени Т=2*Т1 автомобиль прошёл N километров. Запишем условие задачи в виде уравнения:
Вот теперь точно квадратное уравнение: икс – это время, ускорение – это коэффициент «а», скорость – это коэффициент «b», ну а расстояние – это игрек или коэффициент «с».
Пример мы очень сильно упростили. Для того, чтобы понять смысл степенных полиномов с третьей степенью, четвертой и т.д. нужно представить, что наш автомобиль будет двигаться не только с постоянным ускорением, а с изменяющимся во времени. Причем промежутки времени для разного ускорения будут одинаковыми.
Надеюсь, что данная статья была для Вас интересной и чем-нибудь да помогла. В ней мы разобрались в том, что по сути уравнения из теоремы Виета – это всего лишь представление исходного квадратного уравнения в другом виде, а формула для поиска корней квадратного уравнения через дискриминант – это всего-навсего один из способов решения данной системы уравнений. Спасибо, что читаете. Удачи в учебе и труде!
