Решение бинарной проблемы Эйлера-Гольбаха. Кочкарев Б. С.

В нашей работе [ 1 ], опубликованной в журнале "Проблемы современной науки и образования Problems of modern science and education. 2015, №11(41), стр. 7-10. Мы ввели аксиому спуска, являющейся алгебраической интерпретацией метода спуска Ферма [ 2 ], c помощью которого ему удалось решить проблему Ферма для частного случая n = 4.

Определение. Математическая проблема А(n), зависящая от натурального параметра n называется бинарной, если существует алгоритм, который позволяет для любого значения натурального параметра n определить утверждение А(n) истинно или ложно.

Пусть А(n) является утверждением: четное число n есть число, для которого существует пара простых чисел p, p', p < ( n : 2 ), p' > ( n : 2) таких, что p + p' = n.

Лемма. Если четное натуральное число n > 6, то существует пара простых натуральных чисел p < ( n : 2 ), p' > ( n : 2) таких, что p + p' = n.

Доказательство. Самое маленькое четное число n > 6 есть 8. Очевидно, 8 = 3 + 5 ( 3 < 4, 5 > 4 ). Следующее такое четное число будет 10. Очевидно, 10 = 3 + 7 ( 3 < 5, 7 > 5 ). Предположим это справедливо для достаточно большого четного натурального числа n, т. е. существует пара простых чисел p, p', p < n : 2, p' > n : 2, таких, что p + p' = n, а для четного числа n + 2 нет пары натуральных чисел p, p', p< ( n + 2 ) : 2, p' > ( n + 2) : 2 таких, что ( (n + 2) : 2) + ( ( n + 2) : 2 ) = n + 2. Тогда по нашей аксиоме спуска [ 1 ] и для n такой пары p, p' простых чисел нет, а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает лемму. Очевидно, для n = 4 имеем 4 = 2+ 2, а для n = 6 имеем 6 = 3 + 3. Отсюда бинарная проблема Эйлера-Гольбаха ( любое четное число n, начиная с 4 представимо в виде суммы двух простых чисел ) верна, что и требовалось доказать.

Еще Эйлер заметил, что из решения бинарной проблемы следует решение тернарной проблемы, причем таким методом тернарная проблема решается более эффективно, чем методом Гельфготта.

Литература:

!. Кочкарев Б. С. К методу спуска Ферма. Проблемы современной науки и образования Problems of modern science and education. 2015, №11(41), стр, 7-10

2. Самин Д. К. Сто великих ученых, Москва, "ВЕЧЕ", 2001, с. 100