В лекции [https://dzen.ru/a/YyhRG4ToWE1g0cbk?share_to=link] представлены основные способы задания нечётких множеств.
В текущем материале приведём примеры нечетких множеств и записи их различными способами.
Пример 1.
В первом примере универсальным множеством U будет диапазон температур тела человека, где подмножества А – это нормальная температура, B - повышенная температура, С - высокая температура и D - очень высокая температура.
Рассмотрим графический способ задания нечётких множеств. Каждый из графиков соответствует своей функции принадлежности.
Рассмотрим для примера график подмножества А, субъективно оценивая каждое значение, можно сопоставить значения температуры и степень принадлежности этих значений к диапазону “Нормальной температуры человека”, где значение 36 – полностью не принадлежит подмножеству А, значение 36,2 – является точкой перехода, где функция принадлежности равна 0,5 и не определено относится ли значение к подмножеству или нет, значение 36,4 – принимает максимальное значение функции принадлежности, что говорит о полной принадлежности к подмножеству А.
Аналогично интерпретируются и остальные графики.
Если параметры меняются непрерывно, функция принадлежности задается математической функцией (аналитически). Существует ряд типовых форм кривых для задания функций принадлежности (об этом подробнее см. в материале https://dzen.ru/a/YyhGg4v8hxSn_IqK?share_to=link). Наибольшее распространение получили: треугольная, трапециевидная и гауссова функции принадлежности. Все графики подмножеств примера 1 являются трапециевидными кривыми и для них подойдет использование математической формулы для трапециевидной функции принадлежности.
Согласно графикам, поскольку функции принадлежности всех нечётких множеств достигают наибольшее возможное значение 1, то нечёткие множества A, B, C, D называют нормальными.
Запишем нечеткие множества в виде сумм по их несущим множествам. Для начала запишем несущие множества для всех подмножеств. Далее запишем форму сумм по несущим множествам согласно формулам на рисунке. Использование интеграла не означает интегрирование, но предполагает, как и в случае использования символа суммы, объединение по всем элементам несущего множества U. Знак интеграла показывает, что несущее множества, в отличие от формулы, является частью числовой оси.
Пример 2.
Рассмотрим второй пример - "Игра в кости". Игра заключается в подбрасывании двух игральных костей – кубиков, на каждой грани которых выставлены очки от 1 до 6.
Игрок делает следующие ставки: на выпадение числа очков от 2 до 4 он ставит 5 руб., от 5 до 7 – 10 руб., от 8 до 10 – 20 руб., от 11 до 12 – 10 руб.
Пусть ставки, сделанные игроком, - это значения функции принадлежности нечёткого множества А.
Нечёткое множество А – ожидаемое число очков, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей.
Носителем нечёткого множества А является множество U с диапазоном от 2 до 12, т.е. U = {2, 3…, 12}. Запишем нечёткое множество А тремя различными способами: 1) табличная запись: в верхнем ряду записаны значения нечёткого множества, а в нижнем ряду - значение функции принадлежности для этих значений, 2) поэлементная сумма по множеству U, это более компактная запись конечных или счётных нечётких множеств, 3) как сумма по множеству U.
Пример 3.
В третьем примере универсальным множеством U будут оценки безопасности автомобиля, выставленной после проведения тестов, где подмножество А – это низкая безопасность, B - удовлетворительная безопасность, С - хорошая безопасность и D - высокая безопасность.
Каждый из нечётких множеств характеризуется своей функцией принадлежности.
Рассмотрим ещё несколько способов записи этих нечетких множеств. Первая запись – в виде графика функции принадлежности, вторая запись - в виде таблицы, третья – запись по форме сумм по несущим множествам, четвёртая - запись в виде поэлементной суммы по универсальному множеству U, пятая - запись в виде суммы по универсальному множеству U.
Пример 4.
В примере универсальным множеством U будет температура процессора в градусах Цельсия. Для экономии электроэнергии мощность кулера для охлаждения ставится контроллером в зависимости от температуры. Подмножеством А будет – 30% мощности от 30 до 60 градусов, подмножеством B будет – 60% мощности от 55 до 75 градусов, подмножество С – 100% мощности от 65 до 90 градусов.
Ниже приведём графическое представление каждого нечёткого множества.
Приведём аналитическое представление графиков нечётких множеств примера 4:
Рассмотрим примеры записи этих нечетких множеств в виде таблицы и запись по форме сумм по несущим множествам:
Также рассмотрим запись этих нечётких множеств в виде поэлементной суммы по множеству U и в виде суммы по множеству U:
Пример 5.
В примере универсальным множеством U будет влажность воздуха в помещении, где подмножества А – это низкая влажность от 0 до 40, B - средняя влажность от 30 до 70 и D - высокая влажность от 60 до 100.
Каждый из графиков ниже представлен своей функцией принадлежности:
Заметим, что рассмотренные в примере 5, нечёткие множества можно назвать нормальными, так как функции принадлежностей достигают наибольшее возможное значение функции принадлежности, равное единице.
Рассмотрим примеры записи этих нечетких множеств в виде таблицы и запись по форме сумм по несущим множествам:
Также рассмотрим запись этих нечётких множеств в виде поэлементной суммы по множеству U и в виде суммы по множеству U:
В качестве Упражнения предлагается придумать свой пример группы нечётких множеств, запишите универсальное множество, на котором они заданы, запишите аналитические формулы, которые задают значения функции принадлежности этих нечётких множеств, а также запишите эти нечёткие множества другими способами, рассмотренными в текущем материале. Результаты выполнения Упражнения запишите в виде комментария под этим материалом.