В девятнадцать лет меня, как и многих подростков, интересовали глобальные вопросы бытия. Есть ли бог? В чем смысл жизни? Конечна ли вселенная? Примерно в это же время я познакомился с несколькими очень крутыми разделами математики, которые в итоге помогли мне разобраться и с жизненными вопросами.
Сегодня я расскажу о математике. Не будет никаких формул, никаких сверхсложных вещей, никаких доказательств. Конечно, во многом придется поверить мне на слово, но все, о чем я буду писать – строго доказанные математические факты.
Речь пойдет о бесконечностях и их разнообразии. С чего начинается математика любого человека? Мы учимся считать, и счет начинается с единицы. Я один. Мама одна. Папа один. Далее идут числа посложнее. Две руки. Две ноги. Два глаза. Два уха. Затем, по мере изучения новых слов (а это скорее задача языка, а не математики), познается принцип построения чисел – каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Сто, сто один, сто два. Любое число можно увеличить на один и получить число побольше. Есть ли конец у этого процесса? Нет, мы можем заниматься этим вечно. Множество чисел, которое получается таким образом, называется множеством натуральных чисел и является бесконечным. Такая бесконечность – которую можно пересчитать натуральными числами, называется счетной бесконечностью. Оказывается, если вместо натуральных чисел рассмотреть все целые числа (то есть еще ноль и отрицательные), все равно получается счетная бесконечность. Для человека, не знакомого с математикой, это может показаться чудным – очевидно же, что множество целых чисел больше – оно содержит все натуральные и что-то еще, но бесконечные множества нельзя сравнивать так просто, и факт остается фактом – несмотря на то, что мы что-то добавили, бесконечность не изменилась. Дальше – больше. Если рассмотреть все рациональные числа, то есть к целым добавить еще и дробные, то мы снова получим счетную бесконечность. Здесь возникает закономерный вопрос – а существует ли какая-то другая бесконечность, или все они одинаковы?
Рассмотрение следующего известного людям множества даст нам ответ. Действительные числа – это все числа, которые могут встретиться людям при измерениях. Сюда относится и известное всем число пи, и основание натурального логарифма е, и корень из двух, и много других чисел. Так вот, с помощью процесса, известного как диагональ Кантора, можно доказать, что действительных чисел больше, чем натуральных, то есть их нельзя занумеровать. Тогда и множество действительных чисел имеет мощность больше, чем множество натуральных, то есть не является счетным. Для обозначения этой новой бесконечности математики придумали новый термин – континуум, или континуальная бесконечность. Дальше получать множества все большего и большего порядка бесконечности просто – нужно применять диагональ Кантора к предыдущему множеству. Каждая следующая бесконечность будет “круче” предыдущей.
В любом бесконечном множестве выделяется подмножество, которое можно занумеровать. Значит, счетная бесконечность – самая маленькая из всех бесконечностей. Самой большой бесконечности не существует. Интересный вопрос – а есть ли какая-то бесконечность между счетной и континуальной? Эта задача называется континуум-гипотезой, была поставлена Кантором в 1877 году, стала известной после всемирного съезда математиков 1900 года и оставалась неразрешенной аж до 1963 года. Ответ на нее человеку, не знакомому с математикой, покажется просто парадоксальным. Математика не может ответить на этот вопрос. В современной системе математических аксиом континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута. Само существование множества между счетным и континуумом мы можем принять за новую аксиому - получится новая математика, которую можно изучать. Или же мы можем принять за аксиому, что такого множества не существует. Получится другая математика, которую тоже можно изучать. И ни одна из этих математик не будет противоречить уже существующей.
В девятнадцать лет этот факт глубоко поразил меня. Позже я научился обобщать принцип континуум-гипотезы на ситуации, не имеющие отношения к математике. Вот пример. Есть ли бог? Мой ответ – мы не знаем и не можем узнать в рамках современной картины мира. Более того, ответ на этот вопрос неважен нам. Мы можем принять за аксиому, что бог есть. Или можем принять за аксиому, что его нет. Но никаких доказательств получено быть не может. Что сделали математики, когда выяснили что континуум-гипотеза неразрешима? Забыли про нее и пошли решать актуальные задачи, имеющие прикладное значение. То же самое могут сделать и люди с вопросом существования бога – забыть про него и жить своей жизнью.
Понравилось? Подпишись – это очень важно для меня. Не понравилось? Напиши, почему – я постараюсь исправиться.