Данная статья относится как к физике, так и к математике. В курсе школьной математики текстовые задачи на движение занимают значимое место. На экзаменах по математике также встречаются задачи на движение и на нахождение средней скорости.
Простой термин средняя скорость часто вводит в заблуждение школьников. Ведь самое частое значение слова среднее - это т.н. среднее арифметическое, для двух величин равное полусумме. Однако в мире науки только аккуратный расчет, основанный на знании определений, формул даст правильный ответ.
Две задачи
Две похожие задачи с совсем разными ответами:
Задача 1. Машина проехала первую половину времени в пробке со скоростью 10 км/ч, а вторую половину времени по трассе со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля. Теперь заменим "половину времени" на "половину пути" и получим задачу с совсем другим ответом.
Задача 2. Машина проехала первую половину пути в пробке со скоростью 10 км/ч, а вторую половину пути по трассе со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
В первой задаче ответ 50 км/ч, во второй - 18 км/ч.
Почему же ответы разные?
Все дело в том, что средняя скорость = весь путь / все время.
В первой задаче автомобиль двигался с разными скоростями равные доли времени - по половине от всего времени. Поэтому значение средней скорости находится ровно посредине между двумя скоростями на числовой прямой - это среднее арифметическое.
Во второй задаче большую часть времени автомобиль ехал с меньшей скоростью, поэтому средняя скорость ближе к значению меньшей скорости. Сделаем расчеты обеих задач исходя из определения средней скорости.
Решение задачи 1
Пусть автомобиль сначала t часов ехал со скоростью u = 10 км/ч, а затем t часов ехал со скоростью v = 90 км/ч. Тогда автомобиль проехал ut + vt = (u + v)t км. Делим это расстояние на все время движения t + t = 2t часов. и получаем среднюю скорость:
(u + v)t / 2t = (u + v)/2 = (10 + 90)/2 = 50 км/ч.
В этой задаче получилось среднее арифметическое - полусумма!
Решение задачи 2
Пусть автомобиль сначала S км ехал со скоростью u = 10 км/ч, а затем S км ехал со скоростью v = 90 км/ч. Тогда автомобиль проехал S + S = 2S км. Время движения на первом участке - S/u часов, на втором - S/v часов. Все время движения: S/u + S/v, если привести к общему знаменателю получим S(u + v)/uv часов. Разделим весь путь на все время и получаем среднюю скорость
2S : S(u + v)/uv = 2uv/(u + v) = 2x10x90/(10 + 90) = 18 км/ч.
В этой задаче получилось т.н. среднее гармоническое!
Не только скорость
В физике есть и другие величины, с подобными "тонкостями", например, средняя плотность. Термин средняя плотность используется для неоднородных тел, состоящих из веществ разной плотности. Аналогично средней скорости
средняя плотность = вся масса / весь объем
- Если смешать вещества в одинаковых объемах, то средняя плотность будет средним арифметическим плотностей.
- Если смешать два вещества равной массы, то средняя плотность будет вычисляться как среднее гармоническое - аналогично средней скорости во второй задаче.
Теги: #математика #физика #егэ #огэ #олимпиады