Когда-то я попробовал представить геометрические фигуры квадрата суммы, куба суммы и сумма двух слагаемых в 4-ой степени.
В геометрии квадрат суммы (a+b)2 выглядит так:
Куб суммы :
А как выглядит в геометрии (a+b)4?
Разложив сумму (a+b)4 на множители, арифметическое выражение, принимает вид: (a+b)3× (a+b) или (a+b)2×(a+b)2
Предположив, что (a+b)3 это куб и (a+b) это количество кубов, расположенные один возле другого представляют собой прямоугольный параллелепипед, аналогично и с (a+b)2×(a+b)2.
Недавно нашёл подтверждение своей теории у Алексея Владимировича Левченко.
Степень суммы.
Автор А.В. Левченко, методист.
Посмотрим на сумму слагаемых, в степени больше двух: (x + y)n
Геометрический смысл выражения, это один параллелепипед с квадратным сечением, где сторона сечения равна x + y, и третьей стороной фигуры, длиной –
(x + y)n-2, (представьте или нарисуйте такой брусок);
то есть, арифметическое выражение, принимает вид:
(x + y)²×(x + y)n-2.
Или:
это одинаковые кубы, со стороной (x + y), в количестве (x + y)n-3.
Полное выражение:
(x + y) 3×(x + y)n-3.
На примере:
(3 + 4)⁵ = (3 + 4)³ × (3 + 4)²;
(3 + 4)³ × (3 + 4)² = 7³ × 7²;
7³ × 7² = 7³ × 49 => сорок девять кубиков, со стороной семь у каждого.
Или это прямоугольный параллелепипед, брусок, со сторонами 7 на 7 на 343:
(3 + 4)² × (3 + 4)³ = 7² × 7³=> 7² × 7³ = 7² × 343.
Есть и третий, упрощённый вариант от параллелепипеда:
Это квадратные пластины, размером 7 на 7,и толщиной в единицу.
Количество пластин – 7³, то есть 343 штуки.
Арифметически так же:
(3 + 4)⁵ = (3 + 4)² × (3 + 4)³ = 7² × 7³ = 7² × 343.
Здесь следует обязательно акцентировать:
эти три варианта любой степени суммы, являются исчерпывающими, для объективной, реальной геометрической интерпретации выражения (x + y)n.
(Рассматривать объект просто как кучу единичных кубиков смысла нет, это и так понятно))
Иных, реальных, геометрических представлений – арифметической степени суммы, не существует в принципе.
И её геометрической интерпретации:
это как правило – два разных квадрата (>> необязательно!), величины которых, иногда могут быть выражены подходящими друг другу Пифагоровыми числами, что, впрочем, никак не изменяет форму квадрата суммы, её разложение, и правильность результата вычислений.
И поэтому, чтобы получить результатом квадрат, со стороной (x + y), нам необходимо дополнительное количество единичных квадратов, общим числом 2xy, что хорошо и видно – из формулы разложения.
Для закрепления и тренировки, воспользуемся, пожалуй – одной из самых удобных для этого арифметических конструкций – выражением из большой теоремы Ферма.
Напомним теорему:
В примере хn + yn[=или ≠ ?] zn, где все переменные, включая показатель – натуральные, и все – больше двух, равенства не существует.
Теорема о невозможности такого равенства, давно доказана для любых сочетаний переменных.
[А для квадратов, как нам уже известно – равенств бесконечно, и это- Пифагоровы тройки].
Нам же, предстоит сделать обычный, арифметический анализ этой формулы, исходя из алгоритмов суммы квадратов и квадрата суммы, на «школьном» уровне.
Примем в выражении, за меньшее слагаемое – первое из них, для единообразия наших рассуждений.
Итак:
с чего нужно начать – так это сделать разложение каждого слагаемого на сумму квадратов, как уже было показано выше.
То есть: xn = x 2×xn-2, что означает – вот столько (xn-2) – квадратов x², сумма.
Пример:
3⁶= 3² ×3⁴= 3² ×81 = 3² + 3² + …. + 3² (81 шт), восемьдесят один квадрат, со стороной три, каждый.
Таким образом, когда разложим выражение из теоремы Ферма, то перед нами окажутся:
-- первое слагаемое в виде суммы одних квадратов,
-- и второе слагаемое, в виде суммы больших квадратов,
и самих квадратов – будет тоже больше, поскольку больше основание.
Пример:
3³ = 3²×3 = 3² + 3² + 3² => три квадрата со стороной три каждый;
4³ = 4² × 4 = 4² + 4² + 4² + 4² => четыре квадрата со стороной четыре.
То есть, формулируем правило:
Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.
Исходя из этого соотношения, ясно, что у результата в правой части выражения Ферма, если бы вдруг равенство было истинным – могло быть только самое большое количество квадратов, поскольку основание там наибольшее.
Запомним это правило, оно является определяющим окончательный результат, в дальнейших рассуждениях.
Получив сумму двух сумм разных квадратов, у нас есть варианты подсчёта:
первый – мы можем сложить вместе по два одинаковых квадрата отдельно в каждом слагаемом, и только затем – сложить получившиеся квадраты – из разных слагаемых;
и второй – сразу начать попарно складывать квадраты из разных слагаемых.
В первом варианте, для каждой суммируемой пары х² + х², согласно формулам квадрата суммы, (ведь нам нужно получить квадрат!) – необходимы дополнительные элементы, в количестве:
х × х × 2 = 2х² тогда получим:
х² +2х²+ х².
То есть: на каждую пару суммируемых двух квадратов из первого слагаемого, надо добавить ещё два таких же, иначе – никакого квадрата не получится.
[нарисуйте квадрат со стороной, к примеру – три клеточки, и сразу будет видно: для получения из таких* – большого квадрата, нужно ровно четыре штуки].
В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
На этом, казалось бы, можно и закончить.
Однако, один математик отверг мой вариант. Почему? Додумался сам.
Оказывается (a+b)4 нельзя раскладывать на предполагаемые мной множители, на куб и количество кубов по одной причине: действительно (a+b)4 не равно (a+b)3× (a+b) или (a+b)2×(a+b)2, вторые множители не могут быть количеством кубов.
Записи: (a+b)4= (a+b)3× (a+b) и
(a+b)4= (a+b)2×(a+b)2, не верны по простой причине – м4 не равен м3 или м2.
Примеры,
3³ = 3²×3 = 3² + 3² + 3² => три квадрата со стороной три каждый;
4³ = 4² × 4 = 4² + 4² + 4² + 4² => четыре квадрата со стороной четыре,
приведённые А.В.Левченко не коректны.
3м³ = 9м²×3м; куб не равняется 3-м квадратам( объём и площадь не могут быть равны).
Вывод: нарисовать геометрическую фигуру, со стороной (a+b), в 4 степени невозможно.
А как начертить куб в 4-х мерном пространстве?
Д.О.Юрьевич(псевдоним) 21.09.2023г.