Попытки поиска на просторах интернета качественного обучающего материала по основам гидростатики привели меня как всегда к мысли: "все лучшее, это хорошо забытое старое". Поэтому я приобрел печатное издание профессора Н. Павловскоко "Гидравлика" аж от 1928г. Будучи в отпуске Севастополе, я заперся в квартире с новосветским брютом и портвейном и предался увлекательному чтению. Ну и резонно возникло желание поделиться с народом полученными знаниями.
Ниже я выложу сканы листов источника и добавлю некоторые свои комментарии. Названия глав и нумерация совпадают с сканом оригинала издания от 1930г. Мой оригинал немного отличается по содержанию и нумерации.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости.
Сходу автор предлагает нам поясняющий рисунок элементарного объема воды вокруг исследуемой точки А и вводит понятие изменения давления на единицу длины = градиент гидростатического давления.
Далее профессор прощупывает пространство в кубике по оси Х, отдаляясь от точки А влево и вправо, и выводит нехитрую зависимость давлений в точках N и M как давление в точке А плюс/минус изменение давлений по оси X на расстоянии половины ребра кубика. И зная давления в точках N и M он находит давления на гранях, которым принадлежат эти точки (а точнее их разницу, как результат действия всех сил по оси X).
Но одного давления мало... ведь наш элементарный кубик с водой имеет какой-то объем, массу. А это значит что на него действуют еще и объемные силы. И для полной картины проекции всех сил на ось Х нам надо добавить еще и эти объемные силы.
Тут я хочу дать тезисно некоторые свои комментарии, чтобы следующий скан листа был понятен всем:
- как мы помним из 2го закона Ньютона F=m*a, а вес тела - это сила с которой это тело действует на опору. Значит вес тела это есть сила, а значит это произведение массы на ускорение. P=m*g.
- масса есть произведение плотности на объем. (считаем плотность одинаковой по всему пространству объема кубика).
- в гидромеханике исторически сложилось так, что вот это самое ускорение пишут через заглавную букву XYZ (по названию оси, на которую проецируется сила).
Ну все необходимые пояснения я дал, и можно приступать к следующим абзацам. То самое загадочное ускорение в виде X я подчеркнул красным.
Интегрирование дифференциальных уравнений равновесия.
Дальше еще интересней, нам надо воспользоваться только что полученными уравнениями и вывести закон, по которому мы сможем определить величину давления в любой точки жидкости. Для этого профессор предлагает совершить некоторый кульбит.
Давайте вспомним, что такое полный дифференциал.
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных на приращения этих переменных. Для прощей ясности, давайте решим простой пример, выражения (1) и (2) есть одно и то-же, просто записаны разными символами:
Вот и профессор нам говорит, если в левой части уравнения (17) у нас полный дифференциал функции давления, то логично предположить, что в правой части под скобками у нас тоже какой-то полный диференциал. И дальше рассуждает на эту тему. Также становится ясно, что буква Z - это ускорение свободного падения. (читай мои комменты выше).
Нам же остается проинтегрировать уравнение (17) и избавиться (или объяснить и найти постоянную C, которая несомненно вылезет при решении уравнения).
Гидростатическое давление тяжелой покоящейся жидкости.
В итоге мы имеем на руках выражение (22), и уравнение (17) из которых что-то начинает проясняться. По уравнению (22) у нас есть уже описание давления в любой точке жидкости. И теперь, когда по (17) мы знаем что такое потенциальная функция W, мы можем сделать вот что:
Встречайте уравнения (27) и (28)! Это и есть итог этой статьи. Теперь вы знаете как человечество додумалось до полного гидростатического давления. :) Единственное, я напомню, что значок "дельта" в этих формулах это вес единицы объема:
PS. На мой взгляд вопрос изложен очень полно и доходчиво. Дальше еще интересней, и по мере сил и времени, я буду продолжать разбирать эту книгу на отдельные тематические статьи.