В этой статье я расскажу про все виды факториалов. Позже почти по всем факториалам выйдут отдельные и более подробные статьи.
Оглавление:
- Кратный факториал
- Обычный факториал
- Двойной факториал
- Субфакториал
- Примориал
- Композиториал
- Суперфакториал Слоуна
- Суперфакториал Пиковера
- Экспоненциальный факториал
- Фибоначчиал и трибоначчиал
- Убывающий и возрастающий факториалы
- Гамма-функция
Кратный факториал
Фактически, обычный и двойной факториалы являются частными версиями этого факториала
Большая п - символ Похгаммера, означающий перемножение. r может принимать значения от 0 до m-1.
Обычный факториал - кратный факториал с m = 1.
Двойной факториал - кратный факториал с m = 2.
Кода на питоне у меня пока нет.
Обычный Факториал
Является частным случаем кратного факториала
Также является числом перестановок определенного количества элементов без повторений.
0! = 1 по международным договоренностям.
Используется:
Двойной факториал
Является частным случаем кратного факториала.
Вычисляется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n той же четности, что и n. Например 5!! = 3 * 5 = 15 т.к 3 и 5 той же четности, что и 5, а 8!! = 2 * 4 * 6 * 8 = 384 т.к 2, 4, 6 и 8 той же четности, что и 8.
0!! = 1 по международным договоренностям.
Использование:
Субфакториал
Используется для вычисления количества беспорядков.
Допустим есть четыре студента - А, Б, C и D. Каждый должен проверить какую-то одну работу, но не свою. Если учитывать, что студент может проверить свою работу, то количество перестановок будет равно 24 (4!). Если же не учитывать то, что студент может проверить свою работу, то получается всего 9 перестановок. Это и есть субфакториал.
Для его расчета есть несколько способов. Первый - с помощью экспоненты:
Также есть и явная формула (через ряд):
Приморил (Праймориал)
По сути это тот же факториал, только в качестве множителей выступают только простые числа до n. Пример: 5# = 2 * 3 * 5 = 30
Простое число - число, которое делится только на себя и 1:
По сути это все.
А также у праймориала есть рекурентная формула:
n# = 1 при n = 1
n# = n * (n-1)# при простом n > 1
n# = (n-1)# при составном n > 1
Композиториал
В отличие от примориала является произведением всех составных чисел до n.
Составное число - число, имеющее в качестве своих делителей отличные от 1 и самого числа делители (не простое).
Например: Композиториал 10 = 1 * 4 * 6 * 8 * 9 * 10 = 17 280
Суперфакториал Слоуна
является произведением факториалов чисел до n. Например: sf(4) = 1! * 2! * 3! * 4! = 288.
Суперфакториал Пиковера
Является очень быстрорастущей функцией.
Представляет собой степенную башню вида:
В то время, как при n = 2 факториал равняется 4, при n = 3 он становится настолько большим, что количество цифр в нем превышает 10^80.
Экспоненциальный факториал
Также является очень быстрорастущей функцией и также является степенной башней, но вида:
при n равным 6 количество цифр в ответе будет составлять 5 * 10^183 230
Фибоначчиал и Трибоначчиал
Фибоначчиал является произведением чисел Фибоначчи, а трибоначчиал - чисел трибоначчи.
Числа Фибоначчи - последовательность чисел, начинающаяся с двух единиц, каждое число которой является суммой двух предыдущих.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т. д.
Забавный факт: четность чисел чередуется так: 2 нечетных и одно четное.
Числа трибоначчи - последовательность чисел, начинающаяся с трех единиц, каждое число которой является суммой трех предыдущих.
0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44 и т. д.
Четность чисел чередуется так: 2 нечетный и два четных.
Убывающий и возрастающий факториалы
Оба являются частным случаем обычного факториала.
Убывающий факториал - факториал вида: (x)n =x * (x-1) * (x-2) . . . * (x-n+1)
Пример: (x)4 = x * (x-1) * (x-2) * (x-3) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x
Если вместо х подставить n, то мы получим обычный факториал n:
(4)4 = 24
Возрастающий факториал - факториал вида x(n) = x * (x+1) * (x+2) . . . * (x+n-1)
Пример = x(4) = x * (x+1) * (x+2) * (x+3) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x
Если вместо х подставить 1, то мы получим обычный факториал n:
(1)4 = 24
Коэффициенты в получившихся выше уравнениях являются числами Стирлинга первого рода.
Числа Стирлинга первого рода - число перестановок из n элементов по k циклов.
У чисел Стирлинга первого рода есть рекурентная формула:
s(n, 0) = 0 при n > 0
s(0, 0) = 0
s(k, n) = 1 при k>n
иначе:
s(n , k) = (n-1) * s(n-1, k) + s(n-1, k-1)
Важные формулы:
(n)n = n!
1(n) = n!
В данном коде убывающий и возрастающий факториалы выводят строки, являющимися уравнении наподобие тех, что были показаны в примерах.
Гамма-Функция
Гамма-функция - фактически, тот же факториал, но который уже определен абсолютно для всех чисел.
Определения:
При натуральном х, Г(х+1) = х!
Гамма-функция на имеет нулей на комплексной плоскости.
Гамма функция дифференцируема бесконечное количество раз.
Используется гамма-функция в: мат. анализе, теории чисел, экономике, атомной физике и т. д.
Для гамма-функции у меня пока нет готовой реализации на питоне.