Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы поговорим о вещах геометрических, встретившихся еще в 9 классе средней школы, но обычно упоминающихся только вскользь или в рамках решения дополнительных задач.
Теорема синусов
В книге Х.Дж. Дж. Уилсона "Восточная наука" утверждается, что индийский математик 7-го века Брахмагупта описывает то, что мы сейчас знаем как закон синусов, в своем астрономическом трактате "Брахмасфутасиддханта". В переводе утверждение Брахмагупты о правиле синуса следующим образом:
Произведение двух сторон треугольника, деленное на удвоенный перпендикуляр, является центральной линией; и удвоенное значение этого параметра равно диаметру центральной линии.
Кстати, Брахмагупта был первым, кто приравнял отрицательные и положительные числа по статусу:
Большинство, наверняка, помнят классическую формулировку теоремы синусов для треугольника:
Однако, многие ли помнят, чему еще равно это выражение? Между тем, это очень интересный факт, позволяющий справляться с многими сложными задачами.
Опишем вокруг треугольника окружность с центром в точке О и радиусом R и дополнительно проведем диаметр (CJ) и хорду (JA):
Угол JAC является прямым углом (напомню, что мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается. В нашем случае, это 180 градусов).
Запишем синус для полученного прямоугольного треугольника по определению:
Аналогично записывая условия для других углов получим обобщенную теорему синусов:
Да, в данном случае углы треугольника острые. В случае с прямоугольным или тупоугольным треугольником АВС изменится лишь чертеж, а результат останется прежним. А еще можно вспомнить, что все треугольники получаются друг из друга с помощью афинных преобразований...
Из обобщенной теоремы синусов выводится удобная формула для площади треугольника:
А вот Вам еще парочка интересных формул, использующих синусы углов треугольника:
Аналоги теоремы синусов существуют и для сферической и для гиперболической геометрии, а также для n-мерного случая. Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
- Спасибо за внимание!