Служил в Русской императорской армии. Участник Первой Мировой войны, где воевал на Западном, Северо-Западном и Северном фронтах в должности старшего офицера.
С сентября 1917 года направлен на учебу при Николаевской академии Генерального штаба, но уже с октября назначается курсовым командиром Одесского военного училища. Именно в это время Бобров попадает под влияние большевиков и переходит на их строну.
Далее участвует в боевых действиях на стороне Одесской Советской республики против румынских и австро-венгерских войск.
В рядах РККА с 1918 года. Участник Гражданской войны. Командует ротой Курского революционного полка. Получает ранение и признается негодным к военной службе. Затем занимается формирование партизанских отрядов и служит уездным инспектором разных военкоматов.
После активно участвует в боевых действиях против различных антисоветских формирований, а также отрядов Махно и других атаманов, а стало быть возвращается к военной службе.
В 1927 году заканчивает Военную Академию им. Фрунзе. С 30-го года, в течение 10 лет является сотрудником Академии, работая на различных должностях.
19 июля 1941 года Бобров Б.Д. назначается на должность командующего 9-й Московской дивизией народного ополчения, в состав которой вошли жители, рабочие и служащие Кировского района города Москвы. Уже в октябре месяце дивизия была переименована в 139-ю стрелковую дивизию.
В ходе боев под Вязьмой дивизия Боброва приняла на себя удар частей группы армий «Центр» и понесла колоссальные потери. После неравных боев генерал-майору Боброву удалось собрать разрозненные части дивизии и вывести их в район деревни Волочек Ельнинского района Смоленской области. Здесь по приказу командования уцелевшие части дивизии снова заняли оборону, но долго продержаться им не удалось. В ходе этих боев, в ночь с 6-го на 7-е октября генерал-майор Бобров Б.Д. погиб.
После своей гибели командующий 139-й стрелковой дивизии долгое время считался пропавшим без вести. Похоронен лишь после войны. Местом захоронения является братская могила в селе Алексино Дорогобужского района Смоленской области…