Всем добрый день! Сегодня посчитаем такую интересную сумму:
Количество слагаемых здесь любое, а значит, потенциально, бесконечное. Как же посчитать такую сумму? Давайте обозначим искомую сумму некоторой переменной:
Затем рассмотрим тривиальный вариант:
Если синус будет равен нулю, то:
Подставим в исходную сумму и заметим, что все слагаемые равны нулю:
Тогда, при таких значениях x сумма очевидна:
Теперь, рассмотрим остальные значения синуса. Не просто так же я откинул предыдущий вариант? Давайте умножим левую и правую части на 2 синус х:
Теперь выражение под знаком суммы можно разложить на разность косинусов:
Распишем нашу сумму, причем начнем с конца (так удобнее):
Если внимательно присмотреться, то окажется, что все слагаемые, кроме первого и последнего приводятся:
Разложим косинус двойного угла:
Единицы приводятся, красота! Несложно найти ответ:
Итак, окончательно наша сумма равна:
Интересная и немного нетривиальная задача, как по мне! Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!