Всем привет, дорогие любители математики! Постепенно вкатываемся в осень с замечательной системой логарифмических уравнений:
Не знаю, как вам, а мне сразу захотелось немного ограничить наши переменные, вспомним свойства логарифмов:
Получается, что в первом уравнении левая и правая части строго положительны! Чем не повод прологарифмировать первое уравнение? А во втором уравнении можно поменять местами основания:
Теперь воспользуемся свойствами логарифма, для начала заметим, что в первом уравнении справа можно вынести степень, а во втором уравнении первый логарифм равен единице:
Теперь, разберемся с произведением в первом логарифме — на это у нас тоже было свойство. А во втором уравнении все шикарно — он раскрывается по определению:
Теперь в первом уравнении есть еще один логарифм со степенью, стоит вынести:
Решим систему уравнений подстановкой:
Давайте все разделим на логарифм, который стоит в правой части. Но убедимся, что он не равен нулю:
Получаем икс, противоречащий условию. Смело делим:
По свойству логарифма левую дробь можно записать в виде одного логарифма:
Введем замену:
А дальше все просто:
Рассмотрим случай с минусом:
Раскроем логарифм по определению:
Заметим здесь квадратное уравнение:
И то, что оно не имеет действительных корней:
Рассмотрим второй случай:
Тут квадратное уравнение с корнями:
Правда один из корней не подойдет под условия. Найдем для икса игрек и дело в шляпе:
Такая сегодня задача! Надеюсь вам понравилось и вы подпишитесь на канал (если еще не), поставите лайк и напишите комментарий. Математики будет много! Спасибо за внимание!