Классическая задача о максимизации прибыли

Рассмотрим стандартную задачу 4(a) десятой главы девятого издания учебника "Микроэкономика" Р. Пиндайка и Д. Рубинфельда (Microeconomics, 9th Edition, by Robert Pindyck and Daniel Rubinfeld, puplished by Pearson Edication, 2018).

Кривая цены спроса фирмы задана уравнением:

P = 120 - 0.02Q,

где Q - недельный объем производства (шт./неделя) и Р - цена спроса (центы/шт). Кривая совокупных издержек фирмы имеет вид:

C = 60Q + 25,000.

Предположите, что фирма максимизирует прибыль и определите (а) цену, объемы производства и прибыли за неделю.

На языке оригинала:

A firm faces the following average revenue (demand) curve:

P = 120 - 0.02Q

where Q is weekly production and P is price, measured in cents per unit. The firm’s cost function is given by

C = 60Q + 25,000.

Assume that the firm maximizes profits. a. What is the level of production, price, and total profit per week?

Если не обращать внимания на некорректную интерпретацию переменной Q из уравнения цены спроса (где Q - есть объем недельного спроса, или потенциального объема продаж, но точно не "объем производства"), то при определении объема выпуска, при котором максимальна прибыль, следует руководствоваться алгоритмом поиска максимального значения функции прибыли:

1) Найти производную функцию от функции прибыли по количеству (П'(Q) или dП(Q)/dQ)

2) Приравнять эту производную нулю и найти корень уравнения (обозначим как Q*)

3) Убедиться в том, что вторая производная функции прибыли по количеству отрицательна в точке эстремума (это условие о том, что найденный экстремум является точкой максимума).

Очевидно, что функция прибыли, как разности дохода TR (произведения P и Q) и издержек (С) имеет вид:

П(Q) = TR - C = P*Q - C = (120 - 0,02Q)*Q - 60Q - 25 000

Ее первая производная (или разница между MR и MC) имеет вид:

П'(Q) = dП(Q)/dQ = 120 - 0,04Q-60 = 60 - 0,04Q

Приравняв полученную производную функцию нулю, найдем Q*:

П'(Q) = 0 = 60 - 0,04Q -> 0,04Q = 60 -> Q*=1 500 шт/неделю.

Вторая производная функции П(Q) отрицательна и равна -0.04 < 0. Следовательно, в точке Q*=1 500 функция достигает максимума (функция П(Q) выпукла вверх).

Уровень цены можно легко найти из данного в условии уравнения цены спроса:

P = 120 - 0.02Q = 120 - 30 = 90 центов/шт.

Недельная прибыль легко вычисляется как П(1 500):

П(1 500) = (120 - 0,02Q)*Q - 60Q - 25 000 = 20 000 центов / неделя.

Запишем ответ на поставленные в задаче вопросы:

Р = 90 центов/шт,

прибыль = 20 000 центов в неделю,

объем производства, при котором прибыль максимальна = 1 500 шт в неделю.

Если какие-либо задачи об оптимуме производителя, вызывают сложности или подход к решению Вам не понятен, обращайтесь в телеграм @ffaconsult.