Найти тему
Онлайн поневоле

Тригонометрия в планиметрии ЕГЭ

Ситуация вынудила стать учителем онлайн. Пришлось многому научиться. Понравилось. Теперь здесь пишу краткое содержание одного онлайн урока на 45 минут или просто какую-нибудь фишку для онлайна

Для экстерната при изучении тригонометрии полезно показывать применение ее способов при решении номера 16 (планиметрическая задача).

Нравится, что в какой-то момент геометрическая задача становится алгебраической, в которой решение идет с опорой на общеизвестные формулы: формулы двойного угла, формулы тангенса, формулы сложения.

Уточню, что к каждой задаче можно найти другое решение, без опоры на тригонометрию, возможно даже оно будет легче. Но у меня в этой теме задача другая - показать ученику красоту метода.

Задача 1.

-2

В этой задаче тригонометрия пригодится в п. а)

-3

Исходный треугольник - прямоугольный с известными сторонами. Это прямой намек на появление тригонометрии. NA - биссектриса угла А, обозначим угол MAN= х, тогда

-4

Найдем tgx:

-5
-6

В треугольнике MNA: tg NAM=R:AM=1:5 (R -радиус окружности с центром N), то есть радиус второй окружности равен 1/5АМ.

АМ<АС, отсюда радиус второй окружности меньше 1/5АС.

Задача 2.

-7

Окружность s1 с центром Q - вневписанная для треугольника АВС, окружность s2 с центром О - описанная около треугольника QBC. а) Докажите, что окружность s3, описанная около треугольника АВС, проходит через точку О; б) найдите косинус угла А, если отношение радиуса окружности s2 к радиусу окружности s3 равно 5/√7.

В этой задаче тригонометрия пригодится в п. б)

Решение п.б)

-8

Задача 3.

В треугольнике ABC угол С прямой, отношение медианы СМ к биссектрисе CN равно √6:1, высота СH=2. Найдите площадь треугольника АВС.

-9

Решение:

1) ΔВСМ: по теореме синусов, СМ/sin α=BC/sin(180-2α)

=> CM=BC/(2cosα)

ΔBCN: угол CNB=180-(45+α)

по теореме синусов, BC/sin(45+α)=CN/sinα

=> CN=BC*sinα/sin(45+α)

CM/CN= sin(45+α)/sin2α=√6, 1/√2*(sin α +cos α)=2*√6sin α cos α

Решим получившееся тригонометрическое уравнение:

Пусть t=sin α +cos α, t>0, t²=sin²α +cos²α +2sinα*cosα => 2sinα*cosα =t²-1

2√3*t²-t-2√3=0, t₁=2/√3>0; t₂=-√3/2<0.

Итак, СВ=2/sinα, значит CN=2√2/(sinα+cosα)=2√2/t=√6,получимCM=6;

AB=2CM=12

SΔABC=½СH*AB; SΔABC=½*2*12=12

Задача 4.

-10

Тригонометрия пригодится при решении пункта б). (Решение для случая АВ=АС)

-11

-12