Кривая аппроксимации (Curve Fitting) – это процесс нахождения математической функции (например, синусоиды), которая наилучшим образом описывает набор данных.
Она используется для поиска зависимостей между переменными и для прогнозирования значений на основе имеющихся данных.
Допустим, у нас есть набор данных – точки на плоскости, и мы хотим найти функцию, которая проходит через эти точки. Рассмотрим следующий пример:
Предположим, у нас есть следующие данные (x, y):
(x=1, y=3)(x=2, y=5)(x=3, y=7)(x=4, y=9)(x=5, y=11)
Давайте попробуем аппроксимировать эти данные с помощью линейной функции вида y = ax + b.
Мы можем использовать метод наименьших квадратов (Least Squares Method), чтобы подобрать параметры a и b таким образом, чтобы линия проходила максимально близко к нашим данным. В данном случае, это означает, что мы хотим найти значения a и b для уравнения y = ax + b, чтобы минимизировать сумму квадратов разницы между предсказанными значениями функции и исходными данными.
Решим систему уравнений методом наименьших квадратов:
- Для x=1: 3 = a * 1 + b
- Для x=2: 5 = a * 2 + b
- Для x=3: 7 = a * 3 + b
- Для x=4: 9 = a * 4 + b
- Для x=5: 11 = a * 5 + b
Решая эту систему уравнений, мы можем найти оптимальные значения a ≈ 2 и b ≈ 1.
Таким образом, функция, которая аппроксимирует наши данные, будет y ≈ 2x + 1.
Эта линия наилучшим образом подходит к нашим исходным данным и может быть использована для прогнозирования значений y для новых значений x в пределах аппроксимации.