Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о том, как древние индийцы управлялись с удвоением алтаря - простейшей для современного человека задачей, но очень не тривиальной для того этапа развития математической мысли.
В первую очередь необходимо объяснить, почему это было так сложно. Действительно, давайте удвоим квадратный алтарь, ведь это так просто:
Но постойте, иррациональных чисел, в том виде, в котором мы их используем у древних индийцев не было, да и теорема Пифагора была еще неизвестна.
В древнеиндийских трактатах "Шульба-Сутрах" (VII век до нашей эры) есть решение этой задачи алгоритмическим методом. Расшифровка древних текстов показала такой подход:
Нужно прибавить к длине стороны её треть, затем четвертую часть трети, затем отнять 30-ю часть четвертой части трети стороны
Если принять сторону квадрата за единицу, то мы получим удивительно близкое к корню из 2 значение:
Откуда взялись эти цифры, математикам долгое время было неизвестно (конечно, еще и из-за несправедливого перекоса в сторону европейской математики). Однако, в первой трети двадцатого века индийский математик Бибхутибхушан Датта показал убедительное геометрическое доказательство этой формулы.
Возьмем для начала квадрат и провернем первую часть древнеиндийского алгоритма. На первом шаге мы прибавляем к единице одну треть, поэтому мы разделим квадрат на три части. Правый прямоугольник разделим на три части (одна из них - С), а оставшуюся часть - на восемь частей:
Таким образом, мы имеем одиннадцать фигур. Теперь разложим их вокруг исходного квадрата следующим образом:
Заполнив пустой правый угол, получим новый квадрат. Его площадь будет больше искомого удвоенного квадрата на величину площади этого "пустого места", ведь площадь фигур, которым мы "обложили" исходный квадрат равна ему по площади.
Датта таким образом объяснил древнеиндийскую формулу. Мы видим, что сторона маленького квадрата равна 1/12. Этот пустой угло - это излишек, который распределяется между двумя ограничивающими его сторонами. Иными словами, этот пустой угол делится на два прямоугольника и новый пустой угол со стороной x, которые мы "отрежем" от верхней и правой боковой стороны фигуры:
Далее индиец заключает, что его древние предки пренебрегли величиной площади квадратика со стороной х и получили:
Итак, число 34 появилось, но чисто алгебраическим способом, а мы хотели бы получить геометрическое обоснование.
Разделим квадратный пустой угол со стороной 1/12 на столько частей, сколько раз этот квадрат укладывается на верхней и правой сторонах фигуры, то есть на 16+16=32 части. Отсечем от каждого из 16 квадратиков, расположенных вдоль стороны фигуры, полосу шириной 1/(12*32) и получим новый многоугольник, вписанный в квадрат. Длина стороны этого многоугольника будет равна:
Площадь этого квадрата намного ближе к искомому значению:
Число 34 всё же не появилось. Поступим немного по-другому: вместо того, чтобы уменьшить стороны многоугольника, рассечем квадрат со стороной 1 + 1/3+ 1/12 вдоль верхней и правой стороны. На каждый из них маленький квадратик в углу укладывается ровно 17 раз:
Разрежем этот маленький желтый квадратик на 34 полосы, а затем отсечем 17 полос из верхней и столько же - из правый стороны большого квадрата. Мы исключили излишек в форме маленького квадрата, длина стороны которого равна 1/(12*34).
Полученная фигура вновь будет неправильным многоугольником, вписанным в квадрат Длина этой стороны в точности равна приближенному значению, указанному в Шульба-Сутрах:
По всей видимости , если мы отбросим 34 квадратика, это будет слишком много, если отбросим 33 - слишком мало, чем и объясняется чередование чисел 33 и 34 в последующих приближениях:
Оказывается, что если разделить исходный квадрат не на три, а на пять частей, то первое приближение будет более точным.
- Спасибо за внимание!