Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
В данной статье я хочу рассказать про то, как можно несколькими способами вычислить, чему равен угол в правильной пятиконечной звезде.
Вначале нарисуем эту звезду:
Предполагается, что эта звезда правильная, то есть равны все стороны, а также все острые и все тупые углы.
Чтобы вычислить углы этой звезды, добавим в рисунок несколько дополнительных элементов:
Здесь ABCDE - это большой пятиугольник, который построен по вершинам нашей пятиконечной звездочки, A1B1C1D1E1 - маленький пятиугольник, который находится внутри нашей пятиконечной звездочки.
Те углы, что равны между собой, мы пометили точками одного цвета.
Вначале выясним, чему именно равны эти углы. Начнем с "зеленых" углов.
Пятиугольник A1B1C1D1E1 состоит из пяти одинаковых углов. Их сумма равна 180 * 3 = 540.
Это потому, что сумма каждого выпуклого n-угольника равна 180*(n-2), где n - это количество углов или сторон этого n-угольника. Простой пример - это сумма углов треугольника, которая равна 180 градусов, или квадрата, где сумма углов равна 360 градусов.
Итак, сумма тех "зеленых" углов, что находятся внутри маленького пятиугольника, равна 540 градусов. Это значит, что каждый "зеленый" угол равен 108 градусов (108=540/5).
Напомню, что "фиолетовые" углы (например, CAD или BEC) - это и есть те самые углы внутри пятиконечных звездочек, которые нужно найти.
Поскольку мы уже знаем, чему равны "зеленые" углы, мы можем с помощью способа № 1 вычислить эти самые "фиолетовые" углы.
Рассмотрим треугольник ACB1, он равнобедренный, в нем два "фиолетовых" угла и один "зеленый".
Но мы уже знаем, что "зеленый" - это ровно 108, а сумма углов треугольника ACB1 равна 180. Это значит, что два "фиолетовых" дадут в сумме 180-108, то есть 72. А один "фиолетовый" - это 72/2, или 36 градусов.
Но мы рассмотрели только один способ расчета. Рассмотрим теперь ее один способ.
Точно так же, как в треугольнике ACB1 есть один "зеленый" угол и два "фиолетовых", в треугольнике DEB1 есть тоже один "зеленый" и два "красных":
Мы, конечно, чисто теоретически, можем пойти тем жк путем, по которому мы недавно доказали, что "фиолетовый" угол равен 36 градусов, (рассмотрим треугольник BED, в котором два одинаковых "красных" угла и один "зеленый"). Но здесь мы поступим по-другому:
Здесь мы четко видим, что "зеленые" углы внутри маленького пятиугольника равны "зеленым" углам вне его (как вертикальные), а если мы рассмотрим треугольники EDB1 и ACB1, то станет понятно, что раз "зеленый" угол в сумме с двумя "фиолетовыми" (это 180 градусов, сумма углов треугольника ACB1) равен тому же "зеленому", но в сумме с двумя "красными" (это тоже 180, сумма углов треугольника DEB1), то отсюда вывод: "красный" угол равен "фиолетовому".
А любой угол большого пятиугольника (возьмем, например, угол D) разбивается на 3 угла, два из которых - "красные", а один - "фиолетовый":
Но мы точно знаем, что сам угол D - это 108 градусов (мы уже про это говорили, в любом пятиугольнике сумма всех углов 540 градусов, каждый по 108).
А это значит, что и угол "красный", и угол "фиолетовый" равны по 108/3 (мы же доказали уже, что "красный" и "фиолетовый" равны. А 108/3 - это 36.
Приведем еще один способ расчета.
Мы еще ни разу не использовали "желтые" углы. Кстати, они равны 180-108, то есть 72 градуса каждый "желтый" угол. Очевидно, что "желтый" плюс "зеленый" - это просто "развернутый" угол.
Далее можно использовать несколько вариантов расчета. Первый - самый простой. Рассмотрим любой маленький треугольник, в котором два угла "желтых" и один "фиолетовый", например треугольник DA1B1.
Очевидно, что сумма углов этого треугольника равна 180, а если два угла известны и равны по 72 градуса каждый, то на третий угол останется только 180-144, то есть 36 градусов.
Можно привести и еще один вариант расчета.
После того, как мы доказали, что "красный" угол равен "фиолетовому", можно рассмотреть треугольник типа BED:
Это равнобедренный треугольник, у которого при вершине - один "фиолетовый", а при основаниях по 2 "фиолетовых". Итого - пять "фиолетовых", а их сумма 180. По 36 градусов на каждый "фиолетовый".
Можно пойти еще одним путем. Сначала вычислить и доказать, что "красный" равен 36, а желтый 72 (мы в этой статье это уже рассчитывали), а затем рассмотреть треугольник типа AED1:
Тут два "красных" плюс "желтый"и "фиолетовый" - это 180 градусов (один треугольник). Два "красных" - это 72, "желтый" - это тоже 72. На "фиолетовый" остается 180-(72+72), или 180-144, или 36.
Есть и еще несколько вариантов расчета.
После того, как мы доказали, что "красный" угол равен "фиолетовому", посмотрим на всю картину целиком:
Сумма всего большого пятиугольника - это 540. Каждый угол состоит из тройного "фиолетового". Это значит, что 3*5*Х = 540. Отсюда Х = 540/15 = 36.
Есть и еще один вариант. Допустим, что мы еще не доказали, что "красный" равен "фиолетовому", но вычислили, что "красный" равен 36 градусов (например, из треугольника DEB1). Снова возьмем большой пятиугольник, в нем сумма всех углов - это 10 "красных" плюс 5 "фиолетовых". Десять "красных" - это 360, это значит, что на 5 "фиолетовых" остается 540-360, то есть 180. А это значит, что каждый "фиолетовый" будет по 36.
Возможно, есть и другие способы расчета, но самые основные мы тут рассмотрели.
Кстати, два последних варианта (те, что касаются суммы всех "фиолетовых" и суммы всех "красных" углов) будут актуальны даже в том случае, если звезда будет не правильная (мы тогда вычислим только сумму углов, но не каждый угол в отдельности).
А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч!