Дискриминант в квадратном уравнении

Привет от Хакнем Школы! Мы продолжаем серию статей по математике и поговорим о таком понятии, как дискриминант.

Дискриминант — это часть формулы для решения квадратного уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида:

Вид квадратного уравнения

Дискриминант D вычисляется по формуле:

формула дискриминанта

В формуле нахождения корней квадратного уравнения — дискриминант стоит в следующем месте (см. картинку):

формула нахождения корней квадратного уравнения с обозначением дискриминанта (D) в формуле

Значение дискриминанта позволяет нам определить, сколько корней у квадратного уравнения и какие они: действительные или комплексные.

• D > 0. Если дискриминант больше нуля, у уравнения есть два действительных корня.
• D = 0. Если дискриминант равен нулю, у уравнения есть один действительный корень.
• D < 0. Если дискриминант меньше нуля, у уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.

Читайте также: Действительные и комплексные числа: понимаем разницу:

Примеры квадратных уравнений, в которых D > 0, D = 0 и D < 0

Давайте рассмотрим каждый из трех случаев и вычислим корни уравнения.

1. Квадратное уравнение, в котором дискриминант больше нуля

D > 0. Для этого случая рассмотрим уравнение:

Квадратное уравнение

Используя формулу квадратного корня, мы получаем:

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант больше нуля

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант больше нуля. Поскольку дискриминант больше нуля — квадратное уравнение должно иметь 2 действительных корня.

Проведя вычисления, мы получаем:

Корни квадратного уравнения, когда дискриминант больше нуля

Таким образом, у нас есть два действительных корня: x1 = 1 и x2 = 2.

2. Квадратное уравнение, в котором дискриминант равен нулю

D = 0. Для этого случая рассмотрим уравнение:

Квадратное уравнение

Используя формулу квадратного корня, мы получаем:

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант равен нулю

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант равен нулю. Поскольку дискриминант равен нулю — квадратное уравнение должно иметь 1 действительный корень.

Проведя вычисления, мы получаем:

Корни квадратного уравнения, когда дискриминант равен нулю

Таким образом, у нас есть один действительный корень: x1,2 = 3.

3. Квадратное уравнение, в котором дискриминант меньше нуля

D < 0. Для этого случая рассмотрим уравнение:

В этом уравнении коэффициент b, который обычно стоит перед Х в общей форме квадратного уравнения ax2+bx+c=0, равен нулю. То есть, если бы мы записали это уравнение в общей форме, оно бы выглядело так: x2+0x+1=0. Здесь a=1, b=0, и c=1.

Используя формулу квадратного корня, мы получаем:

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант меньше нуля

Пример квадратного уравнения, в котором дискриминант меньше нуля. Поскольку дискриминант меньше нуля — у квадратного уравнения нет действительных корней, но есть два комплексных корня.

Проведя вычисления, мы получаем:

Корни квадратного уравнения, в котором дискриминант меньше нуля

Таким образом, у нас нет действительных корней, но есть два комплексных корня: x1,2 = ± i.

Теперь вы знаете, какие корни будут у квадратного уравнения в зависимости от того: дискриминант больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Этот навык сделает ваши знания математики глубже. Продолжайте учиться и расти вместе с сообществом “Хакнем Школа” 🌱