С.Б. Каравашкин
e-mail: sbkaravashkin@gmail.com
блог «Classical Science»
«В математике, слабое решение (также называемое обобщенным решением ) обыкновенного или уравнения в частных производных является функцией для которого не все производные могут существовать, но который, тем не менее, считается удовлетворяющим уравнению в некотором точно определенном смысле» [1]. При этом, как считается, отличие точных решений от слабых заключено в том, что «от обобщенного (слабого) решения класса Lр(0,π) не требуется никакой дифференцируемости, тогда как решение задачи в классическом смысле должно быть, по определению, дважды непрерывно дифференцируемой [0, π] функцией, т. е. в обобщенной (слабой) постановке задачи принципиально ослаблены требования к гладкости решения по сравнению с классической постановкой задачи»[2, с. 10].
Но если от слабого решения не требуется дифференцируемости, как базового условия удовлетворения самого решения моделирующему дифференциальному уравнению, то и называть это решениями просто некорректно, поскольку не удовлетворяется базовое подтверждение того, что функция является решением.
Тем более, что и ищутся эти решения достаточно странным образом. «Чтобы косвенно исследовать свойства возможного решения u, его интегрируют с произвольной гладкой функцией φ известной как тестовая функция, принимающей значения
Например, если φ является гладким распределением вероятностей, сосредоточенным около точки (x, t) = (xₒ, yₒ), интеграл приблизительно равен u(xₒ, yₒ). Обратите внимание, что хотя интегралы идут от −∞ до ∞, они по существу находятся над конечным блоком, где φ не равно нулю» [1].
Здесь важно отметить два принципиальных момента. Во-первых, если функция φ является произвольной, то границы её ненулевых значений не обязаны совпадать с задачей и, тем более, с ненулевыми значениями искомой функции u(х,у). Если же совпадают, то функция φ уже не произвольная, а точнее, должна быть функционально связана с искомой функцией-решением. Во-вторых, чтобы двойной интеграл имел смысл, функция u(х,у) должна быть кусочно гладкой, а следовательно и дифференцируемой. Тем более, что далее производятся преобразования, требующие дифференцируемости.
Это хорошо видно на приводимом в [1] конкретном примере слабого решения волнового уравнения первой степени
Сразу здесь следует отметить, что с точки зрения физики уравнение (2) записано некорректно, поскольку размерность слагаемых в левой части различна и не может быть представлена некими безразмерными относительными переменными x и t, если сами переменные не имеют одну физическую размерность. В последнем случае это уже не волновое уравнение, как представляется: «рассмотрим волновое уравнение первого порядка» [1].
Правильное уравнение имеет общий вид:
где q некий постоянный коэффициент согласующий размерности (хотя может быть и некоторой функцией от указанных переменных, что тем более не позволит использовать методику слабых решений).
Без этого это нарушение не только физики, но и самого математического формализма, аналогичное записи
И (2), и (4) уже является грубым нарушением формализма, а не неким обобщением, как хотят представить абсурдо-математики. Иными словами, извращая физику, неминуемо извращать математику и наоборот какими бы абстракциями не прикрывались.
Этот главный абсурд проявляется в ходе дальнейших преобразований. «Предположим, что решение u непрерывно дифференцируемо на евклидовом пространстве R, умножим уравнение (2) на пробную функцию φ (гладкая компактная опора), и проинтегрируем:
И опять вынуждены остановиться, чтобы обратить внимание на тот факт, что разделяя «слабые» и точные решения, предполагая, что «от обобщенного (слабого) решения класса Lр(0,π) не требуется никакой дифференцируемости, тогда как решение задачи в классическом смысле должно быть, по определению, дважды непрерывно дифференцируемой [0, π] функцией» [1]. задают дифференцируемость «слабого» решения, без которого не могут записать (5). Но и записав, нарушают математический формализм, поскольку двойное интегрирование нуля в общем случае не равно нулю и может раздваиваться в решении в зависимости от последовательности интегрирования, принимая форму
или
Это уже совсем другие уравнения и даже если представить правую часть в виде двойного интеграла, то последующие действия опять приводят к абсурду.
«Использование теоремы Фубини, которая позволяет менять порядок интегрирования, а также интегрирование по частям (по t для первого члена и по x для второго члена) это уравнение принимает вид:
При этом, выражение (8) сводится к
или
Таким образом, просто подменяют искомое решение u(x,t) некоторой функцией φ(x,t), которая не так уж произвольна, как задаётся в условии, и не входит в исходное уравнение (2). Более того, всё равно волновое уравнение приходится решать точно, а не искать «слабое» решение.
В результате, «ключ к концепции слабого решения состоит в том, что существуют функции u, которые удовлетворяют уравнению (5) для любого φ, но такие u могут не быть дифференцируемыми и поэтому не могут удовлетворять уравнению (2). Примером является u (t, x) = | t - x |, что можно проверить, разбив интегралы по областям x ≥ t и x ≤ t, где u является гладким, и изменив вышеуказанное вычисление на противоположное, используя интегрирование по частям. Слабое решение уравнения (5) означает любое решение u уравнения (2) по всем пробным функциям φ» [1].
В действительности, как мы могли видеть из вывода, и функции φ оказываются не произвольными, а должны удовлетворять аналогичному дифференциальному уравнению, и не являются решениями уравнения (2) даже в слабом смысле. И решение должно быть кусочно гладкой функцией, чтобы уравнение (2) имело смысл.
Это подтверждается и приводимым решением в виде
где φ просто нет места и тем более, произвольному, как не может (11) быть получено из (10).
В то же время, точное решение уравнения (3) имеет вид
При ω = 1 и k = 1 решение (12) напрямую удовлетворяет (2), включая в себя и (11), как и множеству других разрывных функций. При этом, не следует забывать, что ω и k размерные, а значит, и единицы размерные, следствием чего (12) является обобщающим решением, а не (5).
При таком обилии нарушений математического формализма, прикрываемого мудрствованием, возникает естественный вопрос: для чего нужны такие телодвижения если всё равно приходится решать само уравнение точно и это решение оказывается объемлющим?
Ответ кроется к краевых задачах, границы ненулевого значения φ которых выше обозначались.
«Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения строится затем с помощью универсального принципа Дюамеля, который применим не только к задаче Коши для волнового уравнения в рассматриваемом случае одной пространственной переменной, но и к любой другой корректно поставленной линейной эволюционной начально-краевой задаче в пространственно-временном цилиндре с любым числом пространственных переменных» [2, с. 28].
В свою очередь, «Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля.
Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:
где
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
Определим H=Gχ0∞ , где χ0∞ - характеристическая функция на интервале [0,∞). Тогда
есть обобщённая функция.
есть решение ОДУ» [3]
Здесь мы аналогично сталкиваемся с той же проблемой, когда для нахождения решения (17) нужно найти аналогичное решение (15) да ещё и с характеристической функцией χ0∞ и с запаздыванием τ.
Но посмотрим на вопрос с другой стороны, а именно, с точки зрения точных аналитических решений для вынужденных колебаний. В работе [4] был представлен дайджест комплекса решений для упругих систем, как с сосредоточенными, так и с распределёнными параметрами. Было показано, что граничные условия, обычно накладываемые на моделирующие уравнения, уже заложены в самих системах уравнений. Более того, решения для линий с распределёнными параметрами на основе волнового уравнения неполны. Полные решения можно получить только путём предельного перехода от решений для линий с сосредоточенными параметрами, поскольку при предельном переходе непосредственно на уровне дифференциальных уравнений теряются особенности модели, которые не восстанавливаются наложением внешних условий.
Так для полубесконечной модели с возбуждением границы решение примет вид
Для полубесконечной модели с возбуждением внутри системы решение примет вид
Для конечной линии с возбуждением граничного элемента решение примет вид
где l – длина упругой линии.
Для конечной упругой линии с возбуждением внутри системы, имеем
Для идеальной бесконечной линии, имеющей один переход неоднородности [5, с. 67]
где xk - точка приложения внешней силы, v1, v2 - скорости распространения волн в участках линии с плотностями ρ01 и ρ02 соответственно.
Несложно убедиться, что все показанные решения удовлетворяют волновому уравнению, но получить эти решения из самого волнового уравнения невозможно уже по той причине, что в волновом уравнении не фигурируют ни плотность упругой линии ρ, ни внутреннее натяжение в линии T, не говоря о том, что вид упругой линии существенно изменяет сами решения. В частности, (19), (21), (22) демонстрируют кусочно-гладкие функции, у которых решения на границах совпадают, а функции на интервалах – нет и без условий Коши, как и без интеграла Дюамеля.
При этом, границы интервалов не ограничиваются концами упругой линии. Разрывы решений происходят и на переходах неоднородностей, и в точках воздействия внешней силы, и при изломах линии. Более того, на этих разрывах обычно
где
Всё это не может быть повторено при помощи «слабых» решений, как и с наложением внешних граничных условий, большинство которых, к тому же, не могут быть записаны априори и особенно для точек воздействия внешней силы и для переходов неоднородности. Особенно это проявляется на циклических цепочках [6], для которых вообще бессмысленно записывать какие-либо граничные условия в силу отсутствия самих границ.
В качестве примера на рис. 1 представлена диаграмма колебаний в неоднородной упругой линии с распределенными параметрами, соответствующая решению 22 [5, с. 69].
Рис. 4. Диаграмма поперечных колебаний в неоднородной упругой линии с распределенными параметрами при частоте f = 5 Гц и амплитуде F0 = 1 Н. Параметры системы: ρ01 = 1,7 кг/м; ρ02 = 4,5 кг/м; Т = 1 Н
Диаграмма как раз демонстрирует влияние неоднородности и точки приложения внешней силы. В первой и третьей области распространяются прогрессивные волны. В левой области – сумма возбуждённой о отражённой от неоднородности волн, которая не может быть задана внешними граничными условиями вследствие динамической реакции второго участка линии. В третьей области распространяется волна, прошедшая через область неоднородности и которая также не может быть определена существующими методиками по тем же причинам, учитывая дополнительно и специфическую фазу, формирующуюся при прохождении неоднородности. В средней области формируется стоячая волна сложной формы, как результат сложения внешнего возбуждения и отражённой волны. Согласно же существующему формализму при преломлении на границе коэффициенты отражения и преломления «не зависят от ω и одинаковы для волн любой частоты. Они действительны и не вносят никаких фазовых сдвигов, если не считать сдвиг на π радиан, который будет изменять знак члена» [7, с. 123], что не подтверждается точными аналитическими решениями.
Понятно, что никакими уточнениями невозможно получить такое разнообразие решений методами, описанными выше для слабого решения и интеграла Дюамеля.
Так что, с какой стороны ни подходи, так называемые слабые решения являются фривольным жонглированием умными символами, но не решениями, только создавая мираж продвижения по стезе познания. Можно, конечно, не обращать внимания, но тогда и сами исследования будут сводиться к неким абстракциям с последующими попытками согласовать это с экспериментами, теряя важные зависимости и закономерности.
Литература:
1. Слабое решение - Weak solution – //ВикибриФ
2. М.Е. БОГОВСКИЙ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, М, 2019 г.
3. Принцип Дюамеля – // Википедия
4. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Проблема граничных условий – // Блог «Classical Science».
5. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Точные аналитические решения для идеальной бесконечной линии, имеющей один переход неоднородности. Труды СЕЛФ, 2 (2002), 1, 60–70
6. Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Циклические цепочки – // Блог «Classical Science».
7. Пейн Г. Физика колебаний и волн. Москва, Мир, 1979, 390 с.