Квадратное уравнение x² - px + q = 0, все коэффициенты которого являются натуральными числами, имеет корни, которые также являются натуральными числами.
а) Найдите все значения p, если известно, что q = 5.
б) Может ли быть p < 10, если известно, что q > 30 ?
в) Найдите наименьшее значение p, если известно, что q > 30 ?
Решение:
а) Так как q = 5, уравнение примет следующий вид: x² - px + 5 = 0.
По теореме Виета, произведение корней уравнения x₁ ∙ x₂ = 5, сумма корней x₁ + x₂ = p.
Рассмотрим все возможные случаи:
Значит, p = 6.
б) Запишем выражение для дискриминанта квадратного уравнения: D = p² - 4q ≥ 0 (по условию)
Если p < 10, то 0 < p² < 100.
Если q > 30, то - 4q < -120.
Тогда D = p² - 4q < - 20 - противоречие ⇒ Нет, не может.
в) Из пункта б) мы знаем, что при q > 30, коэффициент p не может быть меньше 10.
Пусть p = 10, тогда:
Пусть p = 11, тогда:
Пусть p = 12, тогда:
Значит, p ≥ 12.
Приведем пример для p = 12: x² - 12x + 32 = 0 или x² - 12x + 35 = 0
Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.
