У блогера, ведущего канал «Этому не учат в школе», появился разбор геометрической задачи, которую мы, кажется, ещё не обсуждали на канале Наблюдатель. Давайте обсудим.
Задача. Даны два квадрата. Вершина большего квадрата совпадает с центром меньшего. Одна из сторон меньшего квадрата разделена точкой пересечения сторон квадратов на отрезки длины 2 и 1 (рис. 1). Найдите площадь общей части квадратов.
Как видно из рисунка 2, показанное решение свелось к делению квадрата на 4 равные части, но равенство устанавливается по интуиции, без доказательства. Для получения ответа 2,25 этого достаточно.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/64aa57b14d49861bd13d7621?t=64
Если речь идёт о решении тестового задания без предъявления обоснования — нужно указать только ответ, то решение вполне симпатично. Ведущий канала уточняет, что отношение, в котором стороны квадратов делят сторону меньшего квадрата, не требуется в решении, если дана сторона меньшего квадрата 3.
Интуиция подсказывает также, что при повороте большего квадрата вокруг вершины меньшего общая часть квадратов окажется равнобедренным треугольником — одним из четырёх равных треугольников, на которые диагонали меньшего квадрата делят этот квадрат (рис. 3).
Ответ 3 ∙ 3 : 4 = 2,25 становится очевидным.
Но если же от решателя требуется полное обоснованное решение, как во второй части школьных экзаменов, то первые два решения потребуют больше усилий, чем третье, которое мы сейчас обсудим.
Рассмотрим треугольники OCM и ODN.
В них OC = OD — как половины равных диагоналей квадрата,
∠ OCM = ∠ ODN = 45°, ∠ COM = ∠ DON = 90° – ∠ MOD.
∆ OCM = ∆ ODN по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Эти треугольники имеют равные площади.
Искомая площадь равна сумме площадей треугольников DOM и ODN или, что всё равно, сумме площадей треугольников DOM и OCM, а последняя сумма площадей составляет четверть площади меньшего квадрата, она равна 3 ∙ 3 : 4 = 2,25.
Ответ. 2,25.