Базовой задачей, с которой можно столкнуться в различных заданиях ОГЭ и ЕГЭ по информатике, является перевод чисел в различные системы счисления. Чаще всего, нам приходится переводить числа из привычной нам десятичной системы в двоичную и обратно. Однако рассматриваемый ниже способ универсален и может использоваться без ограничений.
Системы счисления и их виды
Система счисления - это совокупность знаков (цифр), которыми мы записываем числа, и правил, по которым мы эти знаки используем.
Систем счисления существует достаточно много. Всех их можно разделить на два типа:
- Позиционные - те системы счисления, где значение цифры определяется её местоположением.
- Непозиционные - значение цифры не зависит от её местоположения в числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская запись чисел. Например, цифра "X" означает "десять", а "I" означает "один". И не важно, какое мы число рассматриваем: "XXI" или "XIX". Цифры "X" и "I" будут означать одно и то же, независимо от своего местоположения в записи.
Мы же привыкли пользоваться арабскими цифрами и позиционной системой счисления. Если мы напишем числа "10" и "1000", то в первом случае "1" означает "1 десяток", а во втором - "1 тысяча". Смысл цифры определяется её местом в числе - её разрядом.
Также у каждой системы счисления имеется собственное основание.
Основание - это количество цифр, которыми мы записываем числа.
Например, самая популярная система счисления, которой мы пользуемся ежедневно - десятичная. В десятичной системе основание 10 - в ней всего 10 цифр (0, 1, 2, ..., 9).
Двоичная система счисления имеет основание 2, потому что цифр для записи чисел всего две: 0 и 1.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другие нужно:
- Разделить число на основание системы, в которую мы переводим число.
- Выписать остаток от деления.
- Если полученное частное больше или равно основанию системы, в которую переводится число, перейти шагу 1.
- После получения частного меньше основания системы, выписать частное.
- Записать по порядку все выписанные числа от последнего к первому.
Далее вышеописанные алгоритм будет проиллюстрирован наглядно.
Классический способ оформления
Предположим, мы хотим перевести число "45" из десятичной системы в двоичную. Делить числа мы будем в столбик. Тогда у нас получится примерно такая запись:
Получится число "101101". Это и будет результатом перевода числа "45" из десятичной системы в двоичную.
Способ оформления "в столбик"
Запись, рассмотренная выше, может быть трансформирована в более краткую форму. Достаточно провести вертикальную линию. Слева от неё записываем числа, которые мы делим на основание системы счисления, а справа - остатки от деления. Оформим тот же самый перевод числа "45" в двоичную систему:
Перевод чисел в десятичную систему счисления
Для перевода чисел в десятичную систему счисления достаточно воспользоваться формулой:
Формула крайне проста. Рассмотрим пример её использования. Переводём полученное ранее число "101101" из двоичной системы счисления обратно в десятичную.
Классический способ оформления
Просто воспользуемся формулой и распишем сумму произведений цифр исходного числа на основание в соответствующей степени:
Всё получилось, всё работает.
Более краткий способ оформления
Для более краткой записи можно над исходным числом расписать степени основания по порядку справа налево. Далее, если мы переводим число из двоичной системы счисления, достаточно просто суммировать все числа над единицами:
Удобство этого способа в том, что он позволяет переводить двоичные числа в десятичные практически в уме.
Итог
Перевод чисел из одну систему счисления в другую достаточно прост, но требует тренировок. Предлагаю Вам отдельно уделить время отработкам способов перевода чисел в различные системы счисления, проверяя свои решения с помощью онлайн-калькуляторов.