Зачастую возникает потребность посчитать сумму некоторых чисел, идущих в определенной последовательности (к примеру, друг за другом, через один, через два и так далее). Подобные задания появляются среди олимпиадных начиная с 3го класса, постепенно усложняясь, а в 9 классе подобные последовательности изучаются в теме «Арифметическая прогрессия». Помимо этого, работа с различного рода последовательностями развивает логическое мышление и нестандартный подход к решению задач (как учебных, так и жизненных).
В учебниках данная тема в лучшем случае присутствует «на полях», «между строк». В данной статье предлагаю свое видение методики обучения детей применению метода Гаусса, которая может быть применена для детей на любой ступени обучения (без применения формул арифметической прогрессии).
Как обычно в начале немного истории: согласно легенде, маленький Гаусс (примерно в возрасте 10 лет) увидел определенную закономерность при сложении идущих подряд чисел, когда учитель поставил детям задачу посчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100. А именно: он заметил, что сумма первого и последнего чисел равна сумме второго и предпоследнего чисел и так далее, т. е. достаточно один раз найти эту сумму, определить количество таких пар и умножить первый результат на второй.
Как объяснить ученикам начальной школы метод Гаусса
В начальной школе (после того, как дети научились сложению в пределах 100 и умножению двухзначного числа на однозначное) применение метода Гаусса можно совместить с уроком труда (технологии) следующим образом. Принести или сделать из материала (пластилин, бумага) 10 одинаковых шариков (кружочков), написать на них числа от 1 до 10, потом взять нитку и нанизать эти шарики в порядке возрастания (убывания). Таким образом мы получили числа от 1 до 10, «нанизанные» на нитку (рисунок 1).
Далее определяем серединку нитки. В данном примере несложно увидеть, что серединка будет находиться между числами 5 и 6 (5 шариков до серединки и 5 после) (рисунок 2).
Далее определяем суммы построчно как показано на рисунке 3.
Начинать складывать пары лучше именно «снизу», поскольку первый и последний элементы точно известны. Очевидно, что таких пар чисел в нашем примере равно пяти (именно столько шариков было до перегиба). Имея пять пар чисел, каждая из которых равна 11, можно посчитать общую сумму чисел как произведение 5 х 11 = 55. Таким образом сумма натуральных чисел до 10 включительно равна 55. Задача решена.
Можно ли данную задачу решить как-то еще (разумеется, не складывая все числа поштучно)?
А что, если так: добавим перед числом 1 число 0 (прибавление числа 0 не скажется на общем результате) и определим середину «нитки», которая в этот раз придется на число 5 (рисунок 4).
Таким образом, имеем 5 пар сумм, каждая из которых равна 10 и число 5, т. е. 5 х 10 + 5 = 50 + 5 = 55 (рисунок 5).
В качестве тренировки можно найти суммы небольших числовых последовательностей (к примеру, 5-20 или 24-46 и тому подобное). При решении подобных задач необходимо верно определить количество слагаемых. Если нам необходимо сложить числа от 1 до 10, то понятно, что слагаемых будет 10, однако, при определении количества слагаемых, к примеру, в числовом ряду от 24 до 46 включая эти числа следует обращать внимание на то, что разность между 46 и 24 не равна количеству слагаемых, к этой разности необходимо прибавить единицу либо искать разность между числами 46 и 23. Так же целесообразно обратить внимание на чётное, либо нечетное количество слагаемых в числовом ряду. Если количество слагаемых чётно, то в месте «перегиба нитки» чисел нет и количество слагаемых до перегиба равно количеству слагаемых после перегиба (рисунки 2 и 3). При нечётном количестве слагаемых одно число находится в точке «перегиба нитки». Для более удобного нахождения суммы при нечётном количестве слагаемых можно «перетянуть» числа на одно вниз справа или слева, убрав таким образом число из «точки перегиба» (рисунок 6).
Таким образом, сумма чисел от одного до 11 равна 55 + 11 = 66 (рисунок 7).
После работы с небольшими числовыми рядами можно попробовать ряды подлиннее: более 100 элементов, к примеру, найти сумму всех целых чисел в промежутке от 244 до 952 включая эти числа. Находим количество элементов в числовом ряду: 952 – 244 + 1 = 709. Количество нечётное, убираем одно число (пусть будет 244) и получаем 708 элементов, первый из них 245, последний 952. Сумма первого и последнего элементов равна 245 + 952 = 1 197. Количество пар равно 708:2 = 354. Таким образом сумма всех чисел в указанном диапазоне равна 354 х 1 197 + 244 = 423 738 + 244 = 423 982.
Следующий тип заданий, в которых применяется метод Гаусса – это определение суммы чётных или нечётных чисел в определенном диапазоне. К примеру, давайте рассчитаем сумму четных чисел от 1 до 100. Очевидно, что первое чётное число 2, а последнее – 100. Поскольку общее количество чисел (и чётных, и нечётных) в диапазоне от 1 до 100 включая эти числа равно 100, а количество чётных и нечётных чисел равно, то количество чётных чисел равно 50 (т. е. половина от 100), следовательно, количество пар чётных чисел равно 25 (половина от 50), а сумма чётных чисел равна (2 + 100) х 25 = 102 х 25 = 2550.
В качестве иллюстрации применения метода Гаусса в подобных случаях рассмотрим задачу, которая предлагалась к решению для учеников пятых классов на олимпиаде Сириус.
Текст задачи: «Старательная Маша выписала в ряд все натуральные числа от 372 до 506 включительно. Затем она вычислила две суммы: сначала всех нечетных чисел в этом ряду, а затем – всех четных чисел. После этого она из большей суммы вычла меньшую. Какой результат она получила?» Разбор данной задачи приведён в отдельной статье.
Определение суммы кратных чисел. После практики с чётными и нечётными числами можно подключить числа, кратные не только двум (как в случае с чётными числами), но и другим числам. Перед тем, как переходить к определению суммы таких чисел, неплохо вспомнить о том, что такое кратность. Не будем вдаваться в признаки делимости (сейчас в этом нет необходимости), достаточно понимания того, что кратность некоторого числа означает то, что данное число делится нацело на другое число, кратным которому является. Иными словами, если 15 делится нацело на 3, значит 15 кратно трем. Так же необходимо понимать следующее: если брать за числовое поле множество натуральных чисел (начиная от 1), то каждое второе число кратно двум, каждое третье кратно трём, каждое четвёртое – четырем и так далее. Тогда задача типа «найдите сумму натуральных чисел, кратных семи, не превышающих 150» (подобные задачи встречаются в 9 классе в теме «Арифметическая прогрессия») сводится ко вполне определенному алгоритму: определить количество таких чисел, количество пар и сумму крайних чисел. Для наглядности давайте рассмотрим описанную выше задачу.
Для того, чтобы узнать сколько натуральных чисел кратных семи находится в диапазоне от 1 до 150, разделим 150 на 7. В результате деления получаем 21 число (неполное частное), не сложно увидеть, что последнее число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 147, а первое число равно 7. Каждое последующее число отличается от предыдущего на 7. Поскольку количество чисел нечётно, «перетянем нитку» на одно число и получим 20 чисел, первое из которых равно 7, а последнее – 140 (рисунок 8). В конце не забудем добавить 147.
Сумма крайних чисел равна 140 + 7 = 147, количество пар 10, значит сумма чисел кратных семи равна 147 х 10 + 147 = 1470 + 147 = 1617.
Следующий тип задач на мой взгляд самый удачный для применения метода Гаусса при помощи «перегибающейся нити» - это сложение отрицательных и положительных чисел (тема 6го класса). Пример такого задания: «Найдите сумму всех целых чисел от -114 до 112 включая эти числа». В данном задании удобнее всего расположить числа на «нити», чтобы в «точке перегиба» оказалось число нуль (рисунок 9).
Несложно заметить, что сумма чисел в каждой паре равна нулю, следовательно, сумма всего числового ряда будет равна сумме непарных чисел (в нашем примере это сумма чисел -113 и -114). Таким образом, ответ к этой задаче -227.
В данной статье была рассмотрена методика применения правила Гаусса для решения задач на нахождение суммы различных числовых рядов для начальной и средней школы. В статье приведено моё личное мнение, ни в коем случае не претендую на истину в последней инстанции. Если у Вас есть замечания по существу или интересные примеры и задачки из школьной программы, пожалуйста, пишите в комментариях. Спасибо за Ваше время.