«Теория катастроф – раздел математики, который (с конца 1960-х годов) является дальнейшим развитием теории устойчивости и бифуркаций. Значение этой теории можно сравнить с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». «Катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит. Теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики, а также в экономике и политологии.» Узнав, вероятно, в 2007 году о существовании в математике теории катастроф сам автор никогда в неё не вникал из-за её сложности, но почему-то сразу решил для себя, что именно так математики пытаются объяснить в том числе и бесконечную череду катастроф на российской земле за последние несколько столетий (вплоть до наших дней). Ниже в данной статье автора все сведения о теории катастроф, взятые из Википедии, приводятся в кавычках.
«Бурное развитие теории катастроф связано с деятельностью целого ряда ученых разных стран, в том числе и советских математиков, особенно Владимира Арнольда (1937 – 2010) и девяти его учеников.» Именно в связи с именем В. И. Арнольда (см. приложение) автор впервые узнал о существовании теории катастроф.
«Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но также равны нулю и производные более высокого порядка.» Подчёркнутые автором слова говорят о некой функции, производные которой равны нулю. Но только теперь автор вдруг осознал, что наипростейшим примером такой функции, возможно, является ключевая (фундаментальная) функция теории чисел (и её «бледной тени» – числофизики, разрабатываемой автором с 1997 г.). Речь идет о логарифмическом законе: Rк = lnK («физический» смысл всех обозначений раскроем ниже), все производные которого всё быстрее и быстрее устремляются к нулю при K → ∞ (когда аргумент K устремляется к бесконечности):
(Rк)' = + 1/K [первая производная (n = 1) со знаком «плюс»];
(Rк)'' = – 1/K^2 [вторая производная (n= 2) со знаком «минус»];
(Rк)''' = + 2/K^3 [третья производная (n = 3) со знаком «плюс»];
(Rк)'''' = – 6/K^4 [четвертая производная (n = 4) со знаком «минус»];
и так далее до бесконечности. Что можно записать следующей формулой
(производная n-го порядка): (Rк)n = (–1)^(n–1)*(n – 1)!/K^n, (1)
где (n – 1)! ≡ 1∙2∙3∙4∙5∙…∙(n – 1) (факториал числа n – 1). При этом для всех нечётных n = 1, 3, 5, … производная (Rк)n асимптотически убывает от некого (всё большего и большего при n → ∞ и K = 1) положительного числа до нуля (никогда его не достигая), а для всех чётных n = 2, 4, 6, 8, … производная (Rк)n асимптотически растёт от некого (всё меньшего и меньшего при n → ∞ и K = 1) отрицательного числа до нуля (никогда его не достигая).
Таким образом, по мере роста K = 1, 2, 3, 4, … (роста порядкового номера K у простого числа Рк – это станет ясно ниже по тексту) можно полагать Rк = lnK и первая производная (Rк)' = 1/K – это скорость (V) убывания параметра Rк (о котором также говорится ниже) по мере роста аргумента K. Вторая производная (Rк)'' = – 1/K^2 – это ускорение (A) роста параметра Rк (т.е. скорости убывания его скорости V) по мере роста аргумента K.
Любопытно, что при K ≈ 7,36∙10^60 мы получаем модуль ускорения:
|А| ≡ |(Rк)''| ≈ 1,85∙10^–122, который численно близок к модулю космологической постоянной (лямбда члена), выраженному в планковских длинах, а указанное значение K составляет 0,91 от радиуса Вселенной (выраженному также в планковских длинах). При этом указанное количество (K) простых чисел будет содержаться на отрезке [1; P], где правая граница порядка Р ≈ 1,06∙10^63.
Теория катастроф в части выше указанных критических точек (репетиций) потенциальной функции (в качестве примера мы рассмотрели логарифмическую функцию Rк = lnK) ещё добавляет, что «Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров.» При этом и нашу функцию можно разложить в степенной ряд:
lnK = (K – 1)/K + (K – 1)^2/2/K^2 + (K – 1)^3/3/K^3 + (K – 1)^4/4/K^4 + … (2)
А теперь мы раскроем смысл выше упомянутого параметра Rк = lnK.
Теория чисел – это весьма сложный и безусловно красивый раздел высшей математики, изучающей законы натуральных чисел (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). Бесконечный ряд этих чисел строится (в каноническом виде) из простых чисел (P= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …), имеющих только два делителя: 1 и Р. Причем на отрезке [1; P] количество (K) простых чисел будет порядка (~) этого:
K ~ P/lnP. (3)
В теории чисел это одна из фундаментальных формул, которую математики не могли доказать почти сто лет: с 1792 (Карл Гаусс в свои 15 лет) до 1896 г.
Из формулы (3) в частности вытекает, что lnP ~ P/K – это количество натуральных чисел, приходящихся в среднем на каждое простое число, коих порядка K штук на отрезке [1; P]. Иначе говоря, по мере роста длины указанного отрезка (при Р → ∞) вероятность (В) встретить простое число устремляется к нулю: В ≡ K/P ~ 1/lnP → 0. То есть в натуральном ряде простые числа, вообще говоря, встречаются всё реже и реже.
Если формулу (3) прологарифмировать: lnK ~ lnP – lnlnP (где lnP ~ P/K, а членом lnlnP пренебрегаем), то получаем эквивалентную (3) формулу:
Pк ~ K∙lnK, (4)
где K = 1, 2, 3, 4, … можно трактовать как порядковый номер простого числа Pк (в ряде всех простых чисел). Разумеется, формула (4) указывает нам только порядок реального K-го простого числа (об этом говорит символ тильды «~»).
Легко доказать, что расстояние (Rк ≡ Pк+1 – Pк) между соседними простыми числами (Pк и Pк+1), вообще говоря, растет по закону логарифма:
Rк ~ lnK. (5)
Мы говорим «вообще говоря», поскольку при Pк ≥ 3, вероятно, всегда (это математики до сих пор не доказали) будут встречаться так называемые простые числа-близнецы, у которых Rк ≡ Pк+1 – Pк= 2. Ряд таких пар начинается так: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … . А ещё в теории чисел есть гипотеза Фирузбэхт (1982 г.) о максимально возможном расстоянии (K > 9):
(Rк)max ~ (lnK)^2 – lnK – 1. (6)
Таким образом, по мере роста порядкового номера K расстояние (Rк ≡ Pк+1 – Pк) между соседними простыми числами всё больше и больше флуктуирует [от Rк = 2 до (Rк)max] как бы «вокруг» своего «нормального» значения Rк ~ lnK, характерного для подавляющего большинства номеров K. В рамках числофизики параметр Rк рассматривается в качестве наипростейшей математической модели наименьшей ячейки (кванта) пространства (бурно флуктуирующей в настоящее время «пены» дискретного пространства-времени). Поскольку все составные натуральные числа порождаются (в каноническом виде) простыми числами (Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, … все они имеют только два делителя: 1 и Р), то можно полагать, что простые числа «моделируют» кванты пространства-времени (см. в конце стр. 3).
Комментарии к данной статье
Дед Бузюн Жила-была себе теория особенностей дифференцируемых отображений, никого не трогала и никому, кроме специалистов-математиков, особо была не нужна, и никто из журналистов и публики ничего о ней не слышал. И вдруг занялся ей французский математик Рене Том, и чтобы не пропали его труды в безвестности, решил он прорекламировать их и обозвал эту теорию Теорией Катастроф. И сразу накинулись на него журналисты, и давай расписывать, какая это замечательная теория, и как замечательно она все-все неприятности объясняет… И сразу же всем Теория Катастроф позарез необходимой стала, и обрёл Рене Том мировую известность.
ЧИСЛОФИЗИКА Дед Бузюн, после книги "Воровство и обман в науке" и не такая буза придет в голову. А если взять музыку, литературу и т.п. искусства (в т.ч. гуманитарную философию) – то вообще стошнит от тотального плагиата (и скудоумия). Мои тексты – всего лишь попытка рассказать "широкой публике" о красоте и гармонии мира чисел (теории чисел), которая меня, инженера-механика, самого случайно поразила ещё в 1998 г.
Дед Бузюн Учёные — тоже люди, и ничто человеческое им не чуждо. А книгу эту Вы зря читали. Если Вы думаете, что там всё объективно изложено и всё правда, то Вы заблуждаетесь. Бернатосян, видимо, тоже решил добиться популярности у массовой публики. Не он первый и не он последний.
ЧИСЛОФИЗИКА: «Мои тексты – всего лишь попытка рассказать "широкой публике" о красоте и гармонии мира чисел (теории чисел), которая меня, инженера-механика, самого случайно поразила ещё в 1998 г.» Я же не возражаю. Кстати, теория чисел — естественная область интересов любого математика (не помню, кто это сказал).
ЧИСЛОФИЗИКА: «а вот 13-ю «топологическую» задачу решить просто не смог (хотя ответ – 4 мм – помог мне отчасти понять логику Арнольда).»
Чего в ней "топологического", мне невдомёк, хотя я как раз тополог. Что касается логики, то там всё просто. Обычно аккуратные люди расставляют собрания сочинений слева направо: сначала первый том, сразу справа от него — второй, и так далее. При этом в первом томе первая страница находится справа, а во втором томе последняя — слева, так что между ними находятся только две обложки (обычно там между обложкой и первой или последней страницей и обложкой вклеен ещё один лист, на котором ничего не пишут, но может быть картинка, и эти листы в нумерацию страниц не входят; считаем, что их толщина включена в толщину обложки). Отсюда и получается 2+2=4 миллиметра.
ЧИСЛОФИЗИК Дед Бузюн, я на Дзене уже писал такой ответ кому-то (не помню), при этом указывал на хитрость одессита (на грани мошенничества со словами). Поэтому многие наивные взрослые люди не могут угадать (они просто верят известному математику, не ждут от него подвоха). А Бернатосян, думаю, не мог написать (не знал) всей правды о кухне науки. Это почти как правда о войне – она столь чудовищная (грязная), что побывавшие там – чаще всего помалкивают (или врут).
24.06.2023, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2023
ПРИЛОЖЕНИЕ
В. И. Арнольд – крупнейший математик ХХ века
«Владимир Игоревич Арно́льд (1937 – 2010) – один из крупнейших советских и российских математиков XX века. Академик АН СССР (РАН), иностранный член многих академий мира. Лауреат многих престижных наград мира. На мехмате в МГУ будучи ещё 20-летним учеником А. Н. Колмогорова (1903 – 1987), в 1957 году Арнольд показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив 13-ю проблему Гильберта (см. в Википедии «Теорема Колмогорова – Арнольда).
Арнольд начал свою большую преподавательскую деятельность с 24 лет. Он известен ясным стилем изложения, искусно комбинирующим математическую строгость и физическую интуицию, а также простым и доходчивым стилем преподавания. Его публикации представляют собой всегда свежий и обычно геометрический подход к традиционным разделам математики. Однако книги Арнольда критикуются за наличие теорий, включающих утверждения, основывающиеся только на интуитивном понимании, без предоставления данных, необходимых для их доказательства. Арнольд опубликовал более 400 статей и большое количество учебников и монографий. Более 13-ти его книг были многократно переизданы и переведены на многие языки мира.
В России так называемый закон Стиглера часто называют «принципом Арнольда», который он сформулировал в своей научно-популярной заметке 1998 года. Закон Стиглера (1980 г.) в простейшей формулировке гласит: «Ни одно научное открытие не было названо в честь его первооткрывателя». [И здесь весьма показательна статья в Википедии: «Роберт Гук».]
До последнего времени Арнольд работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова в Москве и в Университете Париж-Дофин (Франция). По состоянию на 2009 год Арнольд имел наивысший индекс цитирования среди российских учёных. Весной 1998 года Арнольд упал, катаясь на велосипеде в пригороде Парижа, и получил тяжелейшую травму головы. Похоронен 15 июня 2010 года в Москве на Новодевичьем кладбище.»
В 2007 г. мне чисто случайно попала в руки тоненькая книжка Арнольда «Задачи для детей от 5 до 15 лет» (где 79 задач на 16 страничках). В предисловии Арнольд написал: «… рекомендую особенно задачи 1, 3, 13». Ниже приведу эти задачи (с точностью «до знаков препинания»):
«1. У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоил букварь?
3. Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
13. На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка – каждая – 2 мм. Червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Какой путь он прогрыз? [Это топологическая задача с невероятным ответом – 4 мм – совершенно недоступна академикам, но некоторые дошкольники легко справляются с ней.]»
Признаюсь, что мне с детства не нравилось (и было просто лень) решать задачки, головоломки и т.п. (для «тренировки» мышления). При этом я всё-таки решил задачи 1 и 3 (правда, к ним в книжке нет ответов), а вот 13-ю «топологическую» задачу решить просто не смог (хотя ответ – 4 мм – помог мне отчасти понять логику Арнольда). И не решил только потому, что не смог представить себе столь прожорливых … микроскопических червей (ибо иные и не смогли бы проделать такое с книгами), однако «некоторым дошкольникам» и про червей – невдомёк. И я не стал решать прочие задачи Арнольда.
24.06.2023, Санкт-Петербург