Всем привет, меня зовут Андрей, и это снова я!
Известно, что окружность - это 360 градусов. Другими словами, угол в 361 градус существует, но он полностью равен углу в 1 градус, потому что 1 - это остаток числа 361 при делении на 360. Точь-в-точь так же можно сказать и про любой другой угол, который будет больше, чем 360 градусов.
Кстати, про углы, которые меньше, чем 360 градусов можно сказать то же самое (а именно: градусная мера любого угла равна остатку этой самой градусной меры при делении на 360), ведь остаток любого одного числа (делимого) при делении на второе число (делитель), если делимое меньше делителя, всегда будет равен самому делимому. Например, остаток числа 77 при делении на 360 будет равен 77, то же можно сказать и для всех других случаев, при которых делимое меньше делителя.
Для почти всех углов существуют тригонометрические функции, основные из них - это синус, косинус, тангенс и котангенс. Иногда нельзя вычислить какую-то функцию, например, угол в ноль градусов не имеет котангенса, потому что котангенс - это отношение косинуса к синусу, а синус угла в ноль градусов - это ноль.
Применительно к острому углу прямоугольного треугольника:
синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе;
косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе;
тангенс - отношение синуса к косинусу, оно же равно отношению противолежащего катета к прилежащему;
котангенс - отношение косинуса к синусу, оно же равно отношению прилежащего катета к противолежащему.
Рассмотрим треугольник ABC и конкретно угол ABC:
- синус угла ABC (sin ABC) - это отношение AC к BC;
- косинус угла ABC (cos ABC) - это отношение AB к BC;
- тангенс угла ABC (tg ABC) - это отношение AC к AB, или отношение синуса угла ABC к косинусу угла ABC;
- котангенс угла ABC (ctg ABC) - это отношение AB к AC, или отношение косинуса угла ABC к синусу угла ABC.
Кстати, угол ABC примерно равен 57,3 градуса. Мы неспроста взяли именно такой угол. 180 градусов - это пи (π) радиан. Это значит, что 180 градусов - это чуть больше трех радиан (ведь число пи (π) - это примерно 3,1415...). А отсюда следует, что 1 радиан равен 180 разделить на пи (π), это примерно будет равно 57,3. Итак, 1 радиан - это примерно 57,3 градуса. А угол в 1 радиан - это тот самый угол ABC в том самом треугольнике, что мы недавно показали.
А вот угол CAB в том же самом треугольнике интересен тем, что его величина составляет 90 градусов, или пи/2 (то есть π/2) радиан (это примерно равно 1,57 радиан).
Кстати, как можно быстро запомнить сразу несколько знаков числа пи (π)? В дореволюционном русском языке была одна буква, ее обычно ставили в конец тех слов, которые сейчас заканчиваются на согласную букву, и ставили эту букву сразу после этих самых согласных букв, на конце слова. Буква эта называлась "Ер", а выглядела так же, как современный твердый знак. И если современный твердый знак встречается очень редко, то его предшественник "Ер" был в конце всех тех слов, что заканчивались на согласную.
А если запомнить на старорусском языке фразу "Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число - ужъ знаетъ" - то с помощью этой фразы можно выучить сразу 11 цифр числа пи, в этой фразе достаточно только посчитать количество букв в каждом слове. Мы получим: 3,1415926536...
Как же вычислить в эксель основные тригонометрические функции? Есть функция SIN(), но если мы введем
=SIN(30)
то получим примерно -0.988. Это не есть синус тридцати градусов, но что это число означает? это будет синус угла в 30 радиан, или примерно 1719 градусов. В начале этой статьи мы уже говорили про то, что если угол больше, чем 360 градусов, то надо вычислить остаток этого числа при делении на 360. Итак, 30 радиан ≈ 1719 градусов, или примерно 279 градусов (потому что 279 - это остаток числа 1719 при делении на 360).
Итак, =SIN(30) в эксель означает синус угла в 30 радиан.
Если бы мы ввели формулу:
=SIN(ГРАДУСЫ(30))
то мы получим число, примерно равное -0,41, и это опять не будет равно синусу угла в 30 градусов. Но что именно означает это число? Разберем подробно.
Начнем с того, что временно избавимся от функции синуса. Если мы вычислим просто
=ГРАДУСЫ(30), то получим число, примерно равное 1719, мы о нем уже говорили в этой статье. Оно означает, сколько будет градусов в 30 радианах. Но все правильные единицы измерения, которые получаются при работе с тригонометрическими функциями, нужно держать "в уме". Хотя мы и понимаем, что 1719 - это количество градусов в 30 радианах, Эксель, увидев это число 1719, будет его воспринимать не как количество градусов, а как количество радиан, а, увидев перед этим числом тригонометрическую функцию, будет вычислять эту функцию, полагая, что внутри самой функции - число не в градусах, а в радианах. Это кажется немного не обычным, особенно если учесть тот факт, что мы перед этим использовали функцию ГРАДУСЫ(). Но так оно и есть, это надо просто понять и запомнить.
Итак, вычисляя синус угла именно таким образом
=SIN(ГРАДУСЫ(30))
мы на самом деле вычислим не синус угла в 1719 градусов, а синус угла в 1719 радиан (это примерно 98484 градуса). Вычисляем остаток числа 98484 при делении на 360, тогда получим 204. Синус этого угла примерно равен -0,41. Именно такой ответ мы и получили.
А как же правильно вычислять синус угла, если нам известна его градусная мера? Вот ответ:
=SIN(РАДИАНЫ(30))
Мы получим ответ: 0,5. Это и есть правильный ответ, потому что синус тридцати градусов - это одна вторая.
Как бы это на первый взгляд ни казалось странным или парадоксальным, но для вычисления синуса угла, у которого известна градусная мера, нужно после тригонометрической функции добавить функцию радианов. Это касается не только синуса, но и других тригонометрических функций. Так, для вычисления тангенса угла в 112 градусов нужно набрать следующее:
=TAN(РАДИАНЫ(112))
Мы получим ответ: -2,475.
Кстати, функция косинус в эксель - это COS()
функция котангенс в эксель - это COT()
Как и при прочих тригонометрических функциях, если известна величина угла в градусах, то надо добавить после тригонометрической функции функцию радианов. Если же известна радианная мера угла, то ничего добавлять не надо. Так, например, если мы введем функцию:
=TAN(1)
то мы получим примерно 1,557, то есть тангенс угла в 1 радиан.
И если мы вернемся к тому рисунку, в котором рисовали угол в 1 радиан, то мы получим, что 1,557 - это есть примерное отношение стороны AC к стороне AB треугольника ABC.
А на этом пока всё, и до новых встреч!