Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Решение:
Заметим, что система определена, если
Графиком функции
является парабола
ветви которой направлены вверх.
Графиком функции
является прямая
Графиком функции
является прямая
которая при любом значении параметра a проходит через точку с координатами (-1;0).
Ровно два решения будет только в следующем случае:
Прямая y=ax+a проходит через точку А(0;8) при a=8.
Прямая y=ax+a проходит через точку B(8;16) при a=16/9.
Найдем, при каком значении параметра, прямая проходит через точку С - точку касания двух графиков функций. Для этого приравняем функции и их производные:
Если прямые y=ax+a и y=x+8 параллельны, система уравнений также имеет два решения. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, значит, a=1.
Запишем ответ:
Ответ: