Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые пятьдесят пять частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность;
29. Кружковская задача 14;
30. Кружковская задача 15;
31. Ханойская башня;
32. Кружковская задача 16;
33. Кружковская задача 17;
34. Проценты;
35. Кружковская задача 18;
36. Кружковская задача 19;
37. Незадача;
38. Кружковская задача 20;
39. Кружковская задача 21;
40. Логика должна быть логичной;
41. Комбинаторика в школе;
42. Графы в школе;
43. Вставайте, граф...;
44. Кружковская задача 22;
45. Признаки делимости не ВПРок;
46. Чудеса ВПР;
47. Кружковская задача 23;
48. Кружковская задача 24;
49. Подбор vs перебор;
50. Кружковская задача 25;
51. Кружковская задача 26;
52. Палиндром;
53. Кружковская задача 27;
54. Кружковская задача 28;
55. Бобры - плохое вложение.
Задача
Эскалатор в неподвижном состоянии — лестница с 120 ступеньками. Когда он включен, он движется со скоростью 1 ступенька в секунду. Друзья Антон и Борис ехали вниз по эскалатору. Когда они были ровно посередине, они заметили напротив на таком же соседнем эскалаторе, идущем вверх, своего приятеля Вову. Антон тут же побежал наверх, чтобы потом сразу побежать по второму эскалатору навстречу Вовочке. Борис побежал вниз, чтобы потом побежать по второму эскалатору за Вовочкой вверх. Время на переход с одного эскалатора на другой а) считать нулевым; б) 4 секунды. Друзья бегают по лестнице со скоростью 4 ступеньки в секунду (вверх или вниз). Через сколько секунд первый из друзей окажется с Вовой на одной ступеньке?
Решение
Заметим, что по своему эскалатора Борис спускается со скоростью 4+1=5 ступенек в секунду, а Антон поднимается со скоростью 4-1=3 ступеньки в секунду, а преодолеть им обоим нужно 60 ступенек (половину эскалатора), поэтому Борис спустится за 60 : 5 = 12 секунд, а Антон поднимется за 60 : 3 = 20 секунд.
а) За 12 секунд Вова проедет на своём эскалаторе 12 ступенек, поэтому Борису нужно будет пройти 60 + 12 = 72 ступеньки, чтобы его догнать. За каждую секунду Борис приближается к Вове на 4 ступеньки, поэтому всего подъём Бориса займёт 72 : 4 = 18 секунд. Это 12 + 18 = 30 секунд до встречи Бориса и Вовы.
За 20 секунд Вова проедет на своём эскалаторе 20 ступенек, поэтому Антону останется пройти 60 - 20 = 40 ступенек, чтобы с ним поравняться. За каждую секунду Антон приближается к Вове на 4 ступеньки, поэтому всего спуск Антона займёт 40 : 4 = 10 секунд. Это 20 + 10 = 30 секунд до встречи Антона и Вовы.
б) Так как Антон и Борис тратят по 4 секунды на переход, то Борису придётся преодолеть на 4 ступеньки (которые Вова проехал за эти 4 секунды задержки) больше, а Антону - на 4 ступеньки меньше. Поэтому путь Антона займёт 30 + 4 - 1 = 33 секунды, а путь Бориса - 30 + 4 +1 = 35 секунд.
Ответы: а) 30 секунд; б) 33 секунды.
Комментарий
Эта задача взята из интернет-карусели моих московских коллег. Вернее, это было две последовательных задачи карусели (№№11 и 12):
Я дал ту же карусель своим кружковцам - первый пункт (№11) решили 6 из 10 команд (вернее из 9, так как одна по времени не успела дойти до этой задачи), а второй (№12) - только одна (впоследствии победившая). Среди неверных ответов: два раза по 34 (прибавили переход, не подумали про то, что второй эскалатор движется), два раза по 35 (посчитали Бориса, решили не считать Антона), 28, 24, 20 (все три ответа непонятные, но они все сданы командами, как раз не решившими первый пункт).
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.
И подписывайтесь на мой канал в Telegram - там ещё больше кружковских задач с решениями, они выходят каждый день.