Одина из базовых задач геометрии — определение окружности. Если дано множество точек на координатной плоскости, как можно определить, являются ли они точками одной окружности или нет? В этой статье мы рассмотрим несколько методов для определения окружности по точкам на координатной плоскости.
Первый метод нахождения окружности по точкам на координатной плоскости основан на решении системы уравнений. Предположим, что нам известны координаты трех точек на плоскости: (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), и мы хотим определить, образуют ли они окружность. Если есть окружность, проходящая через эти точки, то она должна удовлетворять уравнению:
(x - a)² + (y - b)² = r²
где (a, b) — координаты центра окружности, а r — радиус. Получаем три системы уравнений, решив которые можно определить параметры окружности:
(x1 - a)² + (y1 - b)² = r²
(x2 - a)² + (y2 - b)² = r²
(x3 - a)² + (y3 - b)² = r²
После решения этих уравнений мы можем проверить, лежат ли оставшиеся точки, которых может быть больше трех, на окружности. Если они удовлетворяют уравнению окружности, то можно считать, что точки образуют окружность.
Второй метод нахождения окружности по точкам на координатной плоскости основан на использовании уравнения Ферма. Уравнение Ферма представляет собой уравнение, связывающее координаты точек и расстояние между ними:
(x - x1)² + (y - y1)² - (x - x2)² - (y - y2)² = 0
Подставляем координаты наших известных точек, и получаем систему из трех уравнений:
(x1 - x)² + (y1 - y)² - (x2 - x)² - (y2 - y)² = 0
(x1 - x)² + (y1 - y)² - (x3 - x)² - (y3 - y)² = 0
(x2 - x)² + (y2 - y)² - (x3 - x)² - (y3 - y)² = 0
Эти уравнения имеют одинаковый вид, что облегчает их решение. Находим координаты стороны:
(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2
(x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2
(x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2
Затем находим пересечение прямых, проходящих через полученные координаты сторон. Это будет координата центра окружности. Радиус найдем, используя любую точку на окружности и координаты центра.
Третий метод нахождения окружности по точкам на координатной плоскости может использоваться, если у нас есть большое количество точек. Используем аппроксимацию многочленом второй степени:
f(x) = a x² + b x + c
g(x) = d x² + e x + f
Находим коэффициенты для двух кривых, проходящих через множество точек. Объединяем их в одно уравнение:
(x - h)² + (y - k)² = r²
где
h = (b e - 2 a f - d c) / (4 a d - b²)
k = (a f - b e) / (4 a d - b²)
r = sqrt (a + d) / 2 + [(a - d) / 2² + b / 2)]²)]
Если все точки удовлетворяют этому уравнению, то можно считать, что они образуют окружность.
В заключение, существует множество методов для определения окружности по точкам на координатной плоскости. Независимо от метода, важно иметь в виду, что некоторые точки могут быть на одной окружности, даже если они не лежат на одной прямой.