Сегодня в Филипповской школе в Москве состоялась Конференция «Родной школы» — объединение сподвижников, борющихся за сохранение традиционного образования в России, то есть сохранения классно-урочной системы и обучения с живым учителем. Было много интересных сообщений, как только появятся ссылки на трансляцию в Интернете или другие источники мы их опубликуем.
А пока расскажу о том, что на этой конференции я познакомился с молодым человеком с надписью на футболке «Новые люди», я уточнил — это та самая новая партия, представитель которой предложил на уровне закона запретить школьные домашние задания. Мы согласились, что инициатива имеет электоральный мотив, то есть направлена на будущие выборы.
На столе у молодого человека я заметил картонку большого формата, с отпечатанным в самом начале тексте.
Я переспросил, не является ли это списком новых предметом, которые партия собирается ввести в школе? И получил утвердительный ответ. Этот вопрос я изучу подробнее и поговорим об этом позднее. Если у Вас есть понимание, что предлагается и есть ссылки на какие-то материалы, которые помогут в обсуждении проблемы, то напишите, пожалуйста в комментариях. На днях мы вернёмся к обсуждению этой темы, а пока, если кому, кроме учителей математики интересен текст, вокруг которого я выступал на конференции, то смотрите ниже.
Программы по математике для 5-9 классов
Год назад мы уже говорили и о стандартах, и о программе по математике, которая теоретически должна опираться на стандарты, а фактически на них опираться не может, так как ФГОС задаёт лишь нижнюю планку требований, а для написания программы, учебников, соответствующих ей, для организации учебного процесса в школах недостаточно задать нижнюю планку, надо задать всё содержание, которое должно быть изучено в интересах не только слабых, но и сильных мотивированных учащихся. То есть поклон в программе в сторону ФГОСа имеет только ритуальное значением — чтобы авторы ФГОСа не обиделись.
Есть два способа построения программы — линейный и концентрический.
Традиционно до середины 60-х годов прошлого века, до реформы А.Н. Колмогорова, использовали первый способ построения программы — линейный. Материал изучали крупными блоками. Начинали изучать натуральные числа и изучали всё, что положено знать по этой теме в 5 классе. На этой базе строились новые знания — об обыкновенных дробях. Закончив изучение обыкновенных дробей, переходили к изучению десятичных дробей. В старые времена на этом программа математики в 5-6 классах завершалась, отрицательные числа изучали в курсе алгебры — со второго полугодия 6 класса. Так учили меня в своё время. Выигрыш при таком построении программы и учебников заключается в том, что у учителя имелась возможность доводить своих слабых учеников до понимания материала, не спеша формировать необходимые умения.
С появлением учебника Н.Я. Виленкина и др. в программе был принят концентрический подход к построению изучаемого материала. После неполного изучения натуральных чисел в 5 классе (в 6 класс переносили тему делимость, простые и составные числа, НОД и НОК двух чисел) переходили к изучению обыкновенных дробей, но без основного свойства дроби и приведения дробей к общему знаменателю. Затем изучали десятичные дроби.
В 6 классе возвращались к натуральным числам, обыкновенным и смешанным дробям (их называли смешанными числами). Затем вводили отрицательные числа — перед любым положительным рациональным числом ставили знак «–». Учащиеся сложно осваивали отрицательные числа, точнее рациональные числа (дроби произвольного знака), так как идея определения знака результата арифметического действия затруднялась использованием чисел, модули которых могли быть целыми, записаны обыкновенной, смешанной или десятичной дробью.
Поскольку программа и учебники были построены на идее концентризма, то есть возвращения к ранее изученному, но на более высоком уровне, то это приводило к повторам и длиннотам, а перемешивание числового материала с алгебраическим и геометрическим создавало трудности в обучении слабых учащихся. Они безнадёжно отставали, так как при каждой «смене учебных блюд» у них оставалось что-то невыученное и непонятое, снежный ком незнания постепенно нарастал.
На такой рыхлой базе строилось обучение математике в 7-11 классах. Неполное изучение тем, частая их смена приводили к тому, что не удавалось как следует объяснить материал, ученики часто действовали по образцу, данному учителем, не понимая, почему получаемый результат правильный. Это не способствовало осознанности усвоения материала и прочности знаний.
Примером действий по образцу, данному учителем, являлось обучение решению текстовых задач. Вместо опоры на детский опыт действий с предметами — действий реальных или воображаемых (переставим с первой полки 5 книг на вторую…), что было традиционно для дореформенной школы, задачи стали решать не арифметическими способами — там есть несколько типовых ситуаций, а единым способом — с помощью уравнений.
Мне запомнился рассказ коллеги по работе в лаборатории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР. После уроков в школе она проводила свою работу со школьниками, а чтобы они включились в работу, начинала с вопросов: что нового они изучили? Что надо объяснить?
Мальчик попросил её:
— Людмила Викторовна, научите нас, пожалуйста, решать задачи «На пусть…».
Так ученик гениально сформулировал свою проблему. Начать решение любой задачи он умел, писал, например: «На пусть x — это первая бригада…» — это классическая ошибка. А вот что делать дальше он не знал, так как задачи встречались разных типов. Разумеется, такое обучение не было эффективным. Что и выяснилось после того, как в 1978 году были выпущены первые учащиеся, учившиеся новой программе.
Учащимся интересно заниматься не тогда, когда часто меняются разнообразные темы изучения, а когда у них получается овладеть материалом. Поэтому первый вопрос, который надо задать себе при составлении программы по математике, заключается в том, какой способ построения содержания изучаемого материала мы выбираем — линейный или концентрический?
В связи с обсуждаемой темой интересно взглянуть на действующую программу, в которой не поместились в 5-6 классах рациональные числа, то есть дроби любого знака. Для учащихся термин «рациональные числа» не используются эти числа в 5-6 классах оказываются не изученными до конца. Это происходит впервые за более чем 50 лет. К тому же программа строго порезана по классам, поэтому для соответствия программе учебники С.М. Никольского и др. при последней переработке пришлось портить, делать повторы материала для соответствия программе своего класса, учебники стали толще и дороже. Раньше классы делились на блоки 5-6, 7-9 и 10-11, чтобы разные авторские подходы можно было реализовать внутри блока.
Это разрезание программы по годам обучения — забота не столько о будущем едином учебнике или забота об учащихся, сколько забота об удобстве контролёров — все школы по всем учебникам к концу года должны изучить одно и то же. Если бы вся эта работа приводила к улучшению структуры программ и учебников, то это можно было бы только приветствовать. Но это не так. Я покажу это на примере Программы по математике для 5-9 классов, одобренной в 2021 году (Институт стратегии развития образования РАО).
Натуральные числа изучают с начала 5 класса, разумеется, там применяют и правило порядка действий, известное учащимся с начальной школы, но в программе это правило упомянуто только в 6 классе. Арифметические действия с натуральными числами и округление натуральных чисел в 6 классе изучают повторно, это было изучено в 5 классе. Учащиеся повторно изучают делители и кратные натурального числа, разложение числа на множители (в 6 классе — на простые множители). В 5 классе изучают признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9, а свойства делимости суммы и произведения, с помощью которых только и можно обосновать признаки делимости, изучаются в 6 классе.
Теперь обыкновенные дроби изучают в 5 классе в полном объёме: есть основное свойство дроби, четыре действия с дробями. Но почему-то в 6 классе идёт их повторное изучение (здесь и далее цитаты из программы даны курсивом):
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей. Сравнение и упорядочивание дробей.
Десятичные дроби и метрическая система мер.
Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями.
А в 5 классе дроби не сокращали? В 6 классе отдельно выделены целые числа, что правильно, идею знака проще освоить на примерах с небольшими целыми модулями.
Целые числа. Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля. Числовые промежутки.
Помилуйте, какие числовые промежутки, если речь идёт о целых числах? Не зная о существовании иррациональных чисел, промежуток от 0 до 1 ученик заполнит правильными дробями, а чем он заполнит числовой промежуток от –1 до 0? — Он же в глаза не видел отрицательных дробей! О числовых промежутках имеет смысл говорить после заполнения числовой оси не только рациональными, но и иррациональными числами. Составители программы об этом не знают?
Положительные и отрицательные числа. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами.
В программе упоминаются действия с положительными и отрицательными числами, как будто действия с отрицательными числами не изучаются.
Здесь речь идёт пока только о целых числах. Отрицательных дробей нет, нет и упоминания о рациональных числах в перечислении содержания изучаемого материала. Это можно понять — множество рациональных чисел не является предметом изучения. Это и есть тот новый пробел, которого не было уж точно более 50 лет в программе для 5-6 классов. Объясняется всё просто. Читаем программу курса Алгебры для 7 класса, где впервые появляется термин «рациональные числа».
Числа и вычисления
Рациональные числа
Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к другой. Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Решение задач из реальной практики на части, на дроби.
Степень с натуральным показателем: определение, преобразование выражений на основе определения, запись больших чисел.
В программе нет бесконечных периодических дробей, значит, учащиеся не сумеют записать 1/3 в виде десятичной дроби?
Отрицательные дроби являются записями некоторых рациональных чисел, но формулировки в программе заставляют гадать: тут есть отрицательные дроби (лучше дроби любого знака) или нет?
Читаем дальше в программе то, что уже изучено в 6 классе:
Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов. Три основные задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
Применение признаков делимости, разложение на множители натуральных чисел.
Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная пропорциональности.
Это полный повтор изученного ранее. У меня есть гипотеза: если бы не было повторов того, что изучили годом или двумя ранее, то рациональные числа можно было бы изучить в 6 классе, а в 7 классе можно было бы на уроках алгебры заниматься алгеброй.
Я вовсе не против того, чтобы повторять изученное ранее, только это надо делать через упражнения, а не через повторное изучение уже изученного. Зачем это топтание на месте, тормозящее сильных учащихся?
Но и в части алгебры программа несовершенна. Обратите внимание на порядок изучения материала.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки. Примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений.
Координаты и графики. Функции Координата точки на прямой. Числовые промежутки. Расстояние между двумя точками координатной прямой.
Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy. Абсцисса и ордината точки на координатной плоскости. Примеры графиков, заданных формулами. Чтение графиков реальных зависимостей.
То есть сначала изучают график линейного уравнения, потом прямоугольную систему координат, оси Ox и Oy, абсциссу и ординату точки на координатной плоскости, потом примеры графиков, заданных формулами, а до этого изучали графики уравнений с двумя переменными.
Типичное изучение материала задом-наперёд.
А графики реальных зависимостей — это святое! В смысле терминологии. Реальные пацаны вставили же в ОГЭ «Реальную математику».
8 класс
Числа и вычисления Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. Действительные числа.
Степень с целым показателем и её свойства. Стандартная запись числа.
Как предполагается изучать иррациональные числа, объяснять, чем они отличаются от рациональных чисел, если в программе не было понятий периодической и непериодической дроби? Тайна сия покрыта мраком. Что тут поймут учащиеся? — Бог весть!
9 класс
Числа и вычисления
Действительные числа
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел; действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
Обращаю внимание на
Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой.
Было бы понятнее:
Взаимно однозначное соответствие между действительными числам и точками координатной прямой.
Интересно, что не имея такого взаимно однозначного соответствия в 7 классе изучали числовые промежутки в теме «Целые числа». В 7-8 классах строили непрерывные графики функций, утверждая, что каждой точке графика соответствует единственное число на оси Ox — её абсцисса. А это не совсем так, ведь до изучения иррациональных чисел и установления упомянутого взаимно однозначного соответствия ось Ox была «дырявая» — без точек, соответствующих иррациональным числам.
Рациональные числа и иррациональные числа изучены в 8 классе без бесконечных десятичных дробей. Но слова «периодические» и «непериодические» (бесконечные десятичные дроби) в программе нет и в 9 классе. — А как учащиеся будут отличать среди бесконечных десятичных дробей записи рациональных чисел от записей иррациональных чисел?
Что при таком порядке изучения материала может понимать даже очень старательный ученик? По такой программе учить ребят с пониманием можно только вопреки программе. В этом и заключается её главный недостаток.
Дальше идёт повторное изучение линейных уравнений, которые уже изучали в 7 и в 8 классах. Не будем дальше входить в подробности, отметим только, чего из старой программы для 7-9 классов нет в новой программе.
Простейшие дробно-рациональные уравнения есть, а простейших рациональных неравенств — нет. Слово «дробно» в первом случае лишнее. В программе нет квадратных неравенств, в ОГЭ 2020 года они были, видимо, скоро их исключат. Вы догадываетесь из-за чего — учебное время ушло на бесконечное повторное изучение ранее изученного.
Таким образом, главный недостаток программы по математике для 7-9 классов заключается в концентрическом её построении, в частых повторах, которых на геометрическом материале для 5-6 классов ещё больше, чем на числовом.
А мы удивляемся, почему это ребята у нас плохо понимают, плохо знают и не любят математику. Нет, сильные учащиеся владеют какими-то алгоритмами, повторяют за учителем решения по данному образцу, но утверждать, что они понимают смысл своих действий, никак нельзя, так как программа и не предполагает обучение с пониманием. Иначе она бы была устроена иначе.
Публикации по теме
Примерная рабочая программа основного общего образования предмета Математика. Проект
Шевкин А.В., к.п.н, заслуженный учитель РФ.
08.06.2023